Householdertransformation

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

En Householdertransformation är inom matematiken, specifikt linjär algebra, en avbildning som i ett tredimensionellt ändligdimensionellt vektorrum med skalärprodukt reflekterar en vektor i ett plan (som innehåller origo, ett underrum). Detta kan generaliseras till alla ändligtdimensionella vektorrum som reflektion av en vektor i ett hyperplan som innehåller origo.

Transformationen kan även generaliseras till allmänna inre produktrum och kallas då Householderoperator. Transformen introducerades av Alston Scott Householder 1958.

Konstruktion och egenskaper

Ett hyperplan π kan definieras med dess normerade normalvektor, v (vektorn av längd 1 som är ortogonal till hyperplanet). Då ges Householdermatrisen Q av:

Där I är enhetsmatrisen och v ^* är det hermiteska konjuatet av v. Q reflekterar en punkt x i π, ty:

Där är skalärprodukten. Detta på grund av att ger avståndet mellan x och π.

Q har ett antal bra egenskaper:

• Q är hermitesk: Q = Q ^* .
• Q är unitär: Q ^* = Q ^{− 1}.
• Av detta följer att Q är sin egen invers: Q² = I.

Vilket stämmer bra då reflektionen av x:s reflektion måste vara x.

Användning

Householdertransformationer kan användas för att QR-faktorisera en matris.