Euklides algoritm
Från Rilpedia
Euklides algoritm är en algoritm för att bestämma största gemensamma delare till två positiva heltal. Det är en av de äldsta kända algoritmerna och beskrivs i Euklides Elementa. Algoritmen kräver inte att man kan dela upp talen i faktorer.
Algoritmen kan beskrivas på följande sätt:
- Två heltal a och b, där a > b är givna.
- Om b = 0 är algoritmen klar och svaret är a.
- I annat fall beräknas c, resten när man delat a med b.
- sätt a = b, b = c och börja om från steg 2 igen.
Exempel 1
Finn den största gemensamma delaren till 1071 och 1029.
- 1) a = 1071 och b = 1029
- 2) (b ≠ 0)
- 3) 1071/1029 = 1 med 42 i rest, så c = 42
- 4) Sätt a = 1029, b = 42
- 2) (b ≠ 0)
- 3) 1029/42 = 24 med 21 i rest, så c = 21
- 4) Sätt a = 42, b = 21
- 2) (b ≠ 0)
- 3) 42/21 = 2 med 0 i rest, så c = 0
- 4) Sätt a = 21, b = 0;
- 2) b = 0, så svaret är 21
Kortare skrivet:
- 1071 = 1 · 1029 + 42
- 1029 = 24 · 42 + 21
- 42 = 2 · 21 + 0, så svaret är 21.
En snabb kontroll bekräftar att 1071 = 51 · 21 och 1029 = 49 · 21.
En följd av Euklides algoritm är att den största gemensamma delaren till två tal a,b kan skrivas som en linjärkombination av talen ax+by (x,y heltal). Genom att lösa ut resterna och köra algoritmen baklänges bestämmer man x och y. I exemplet ovan:
Detta kan användas vid lösning av den diofantiska ekvationen ax + by = c.
Exempel 2
Nedan följer en alternativ metod som fungerar lika bra som ovan. Med funktionen frac menas decimaldelen av talet. Om 
så är 
och om 
, så är decimaldelen noll, dvs. 
.
Generalisering av Euklides algoritm
Euklides algoritm kan utvidgas till att operera på andra ringar än heltalen, som ovan. Ringar i vilka Euklides algoritm kan användas kallas Euklidiska ringar. Exempel på Euklidiska ringar är de Gaussiska heltalen och vissa polynomringar.
