Gaussiska heltal

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Ett gaussiskt heltal eller gausskt heltal är ett komplext tal $z$ som kan skrivas på formen

z = x + i y

,

där $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ , d. v. s. x och y är vanliga (reella) heltal. Exempelvis är 2+3i, 4-8i och 19 gaussiska heltal (eftersom de också kan skrivas som 2+i·3, 4+i·(-8) respektive 19+i·0). Summor, differenser och produkter av gaussiska heltal är också gaussiska heltal:

$(1+2i) + (2-3i) = 3-i;\ \ \ \ \ \ \ \ (1+2i) - (2-3i) = 5i-1;\ \ \ \ \ \ \ \ (1+2i) \cdot (2-3i) = 8+i$ .

Vidare finns en heltalsvärd norm $v$ definierad genom $v (x + i y) = x 2 + y 2$ , och en "division med kvot och rest": Om $a$ och $b$ är två gaussiska heltal, och $b \neq 0$ , så finns två gaussiska heltal $q$ och $r$ , sådana att $a = q b + r$ och $0 \leq v(r) < v(b)$ . ( $q$ kan bildas genom att man var för sig avrundar realdelen och imaginärdelen av det komplexa talet $a\overline b/v(b)$ till närmaste heltal.) Mängden av alla gaussiska heltal utgör därför en euklidisk domän.