Koordinatsystem
Från Rilpedia
Ett koordinatsystem inom matematiken är ett sätt att tilldela koordinater, en ordnad följd av tal, till en punkt eller vektor i ett rum. Antalet koordinatvärden som behövs är rummets dimension.
Det vanligaste sättet att definiera koordinaterna för punkten är att bestämma ett antal basvektorer, lika många som antalet dimensioner i rummet. Om dessa basvektorer betecknas V1, V2 ... Vn och punkten V är
- V = a1V1 + a2V2 + ... + anVn
så kallas a1, a2 ... an för Vs koordinater och det brukar skrivas som
- V = (a1, a2, ... ,an)
Beroende på vilka basvektorer som väljs får man olika koordinater för en given punkt. Det vanligaste är att man väljer basvektorer som är rätvinkliga i förhållande till varandra och lika långa. Detta kallas då ett ortonormerat koordinatsystem. I själva verket är begreppen vinkel och avstånd kopplat till just koordinatbegreppet, varför man med visst fog kan hävda att basvektorer är vinkelräta mot varandra och lika stora. Ett sådant koordinatsystem brukar också kallas ett Kartesiskt koordinatsystem efter den franske matematikern och filosofen René Descartes(även kallad Kartesius).
Koordinatsystemet kan ses som ett sätt att förena klassisk geometri med algebran och införa möjligheter att algebraiskt behandla geometriska begrepp. Detta kallas ibland för analytisk geometri.
Tvådimensionella koordinatsystem
Ett tvådimensionellt koordinatsystem har fyra kvadranter: första, andra, tredje och fjärde kvadrant. Två linjer, koordinataxlar, som inte är parallella och med nollpunkt i skärningspunkten (origo), bildar ett koordinatsystem. Om koordinataxlarna är vinkelräta och använder samma längdmått sägs axlarna vara ortonormerade (ortogonala och normerade). Den horisontella axeln kallas abskissa och den vertikala ordinata. I vardagligt tal används dock ofta termerna "x-axel" och "y-axel", eftersom x och y ofta (men inte alltid) betecknar respektive axel (se bild uppe till höger).
Se även polära koordinater, koordinattransformation.
Tredimensionella koordinatsystem
Ett tredimensionellt koordinatsystem kan delas in i åtta oktanter som kan jämföras med planets fyra kvadranter.
Tredimensionella koordinatsystem kan vara högersystem (som de allra flesta) eller vänstersystem beroende på axlarnas ordning. Förutom kartesiska koordinater används ofta cylindriska koordinater eller sfäriska koordinater, men även andra koordinatsystem är möjliga i R3.
Högersystem innebär att koordinatsystemets basvektorer är ordnade i högervarv, det vill säga moturs. Då motsvaras x-, y-, och z-axlarna av högra handens tumme, utsträckta pekfinger och vinklade långfinger. Handen hålls då med handflatan uppåt, tummen pekar åt höger (x-axel +), pekfingret rakt fram ifrån kroppen (y-axel +) och långfingret uppåt (z-axel +). Högersystem är standard i de flesta fall, men inom lantmäteri används vänstersystem. Vänsterhanden kan på motsvarande sätt användas för att komma ihåg axelordningen i ett vänstersystem.
