Från Rilpedia

Russells paradox (efter Bertrand Russell) visar att den till synes naturliga och självklara abstraktionsprincipen ger upphov till motsägelser i mängdteorin. Russell upptäckte detta under läsning av första bandet av Gottlob Freges Grundgesetze. Russell meddelade Frege detta, varpå Frege gjorde ett tillägg i slutet på andra bandet av Grundgesetze där han skriver "En större olycka kan knappast drabba en vetenskaplig författare än att få en av grunderna för sitt verk raserad, när verket själv fullbordats".

Paradoxen kan populärt beskrivas på följande sätt: En barberare i en by rakar alla män som inte rakar sig själva. Rakar barberaren sig själv? (Här klarar man sig dock genom att det följer att det inte existerar en dylik barberare). Formellare uttrycks paradoxen som följer. Abstraktionsprincipen säger att för varje egenskap A kan vi bilda mängden av alla objekt som har denna egenskap. Beteckningen {x : A(x)} betyder mängden av alla x som har egenskapen A. Om till exempel egenskapen G är egenskapen att vara grön så är {x : G(x)} mängden av alla gröna objekt.

Bilda nu, med hjälp av abstraktionsprincipen, mängden {x : ¬x∈x}, dvs mängden av alla x som inte är element i sig själva. Låt oss kalla denna mängd för S. Gäller S∈S? Om svaret är ja innebär det att S har egenskapen att inte tillhöra sig själv eftersom alla element i S har denna egenskap. Detta stämmer inte om S∈S. Alltså kan inte S∈S gälla. Men ¬S∈S kan inte heller gälla eftersom då har S egenskapen som gör att den kvalificerar som medlem i S samtidigt som satsen ¬S∈S säger att S inte tillhör S. Detta förbryllande resultat är Russells paradox. Felet ligger i att vi antog abstraktionsprincipen helt oinskränkt för vilka egenskaper som helst. Egenskapen för vilken mängden S bildades var ju "att inte tillhöra sig själv".

Slutsatsen av paradoxen är att abstraktionsprincipen uppenbarligen är alldeles för liberal. Den tillåter bildandet av mängder som ger upphov till motsägelser. I en axiomatisk mängdteori kan därför inte abstraktionsprincipen ingå som axiom. I ZFC ersätts abstraktionsprincipen med delmängdsaxiomet. Detta axiom är något mindre liberalt med vilka mängder vi får bilda. Den ursprungliga lösningen på problemet var dock Russells egen typteori, men denna har numera nästan övergivits eftersom den gav upphov till andra svårigheter.

Cantor kände givetvis till denna "paradox" tidigare än Russells publikation. Man erhåller lätt det hela genom att tillämpa resonemanget som leder till att de reella talen inte är uppräkneliga, dvs diagonalisering, på mängden av alla mängder. Han använde också en mängd med liknande egenskaper för att bevisa Cantors sats.