Mängdteori
Från Rilpedia
Mängdteori har en allmän och en specifik betydelse.
Innehåll |
Allmän betydelse
Mängdteori är teorin om mängder. Mängdteorin är oumbärlig i logiken samtidigt som det är en av den rena matematikens grundstenar. I mängdteorin beskriver man vissa grundläggande egenskaper hos mängder med axiom för att se vad man kan bevisa i de olika teorierna. Den vanligaste mängdteorin är antagligen ZFC (se mängdteorier). Mängdteorin är även betydelsefull inom matematikfilosofin.
Namnet "mängdlära" används ofta för att beteckna den icke-axiomatiska mängdteorin som den, till exempel , används i pedagogiskt syfte i Den nya matematiken, men används ibland synonymt med "mängdteori".
En mängd är en samling av objekt, elementen i mängden. I naiv mängdlära kan ett element vara vad som helst, men i ren mängdteori antar man normalt att alla objekt som studeras är mängder, det vill säga elementen i en mängd är själva mängder som i sin tur består av andra mängder etc. Detta motiveras av att nästan alla matematiska begrepp (tal, funktioner, algebraiska strukturer etc) kan reduceras till mängder. Dessutom blir det onödigt krångligt att ta med en ytterligare typ av objekt som inte har samma egenskaper som mängderna. Element som inte själva är mängder kallas urelement, men i normal mängdteori bortser man som sagt från dessa.
Ursprungligen tillät man också att mängder bildades utan restriktioner. Till exempel kunde man tala om mängden av alla mängder och mängden av alla mängder som uppfyller en viss egenskap. Dessa och liknande konstruktioner visade sig dock leda till paradoxer som till exempel Russells paradox. För att råda bot på detta byggde man upp mängdteori axiomatiskt vilket har lett fram till ovan nämnda ZFC (Zermelo-Fraenkels mängdteori med urvalsaxiomet).
Specifik betydelse
Ordet mängdteori kan även syfta på en enskild teori inom mängdteorin i den första betydelsen, det vill säga ett axiomsystem med axiom som beskriver vissa grundläggande egenskaper hos mängder. Olika mängdteorier ger upphov till olika resultat om mängder. Exempel på mängdteorier är ZF och ZFC.
