Indirekt bevis
Från Rilpedia
Indirekt bevis, ibland även kallat motsägelsebevis och på latin reductio ad absurdum (reducerat till orimlighet), är en vanlig metod att genomföra ett bevis.
Om man vill bevisa en sats u, börjar man med att anta motsatsen, ¬u. Man visar sedan att detta antagande leder till en orimlighet, en motsägelse. Av detta kan man dra slutsatsen att u är sann.
Kända bevis som ofta uppfattas som indirekta är Euklides bevis av att det finns oändligt många primtal, beviset att kvadratroten ur 2 är ett irrationellt tal och Georg Cantors bevis för att mängden reella tal inte är uppräknelig, det vill säga att det finns fler reella tal än naturliga tal. I själva verket är inget av dessa tre exempel ett verkligt indirekt bevis, eftersom man aldrig antar negationen till det som ska bevisas. I första fallet antar man att det finns ett ändligt antal primtal och sluter sig efter ett resonemang till att det är omöjligt, varvid man sluter sig till negationen av antagandet. I andra fallet antar man att x2 = 2 har en rationell lösning och härleder härur en motsägelse. I tredje fallet antar man att det finns en uppräkning av de reella talen och härleder härur en motsägelse. Dessa tre exempel är alltså på följande form: man antar att u är sann och härleder en motsägelse, varvid man drar slutsatsen att ¬u är sann. Detta är alltså den omvända ordningen jämfört med förfarandet vid indirekt bevisföring.
Vissa riktningar inom matematikfilosofin, till exempel intuitionismen, accepterar inte indirekta bevis. Intuitionisterna har dock inget att invända mot exemplen som givits ovan. Ett bevis som verkligen är indirekt och vars giltighet förkastas av intuitionisterna är beviset av att om ett reellt tal x inte är noll, så är det inverterbart, det vill säga att då finns ett reellt tal y sådant att xy = 1. I beviset visas först att om det inte finns något y sådant att xy = 1, så måste x = 0. För detta krävs inget indirekt bevis. Sista steget är dock indirekt: på grund av att x = 0 följer ur att inget tal y löser ekvationen xy = 1 drar man slutsatsen att ett sådant tal y måste finnas om x inte är noll.
