Manhattangeometri
Från Rilpedia
Manhattangeometri är ett exempel på en geometri som inte fungerar riktigt på samma sätt som den vanliga euklidiska geometrin. Bland annat får den lite märkliga konsekvenser för begreppet cirkel.
Innehåll |
Grunderna
Först, tänk på New York och speciellt Manhattan. Det finns två sorters gator, Avenues och Streets. Alla Avenues går i nord-sydlig riktning och alla Streets i öst-västlig. Dessa korsar kontinuerligt varandra, och bildar ett rutnät där gatorna ramar in kvarter. Låt oss för enkelhets skull (och för att det är matematik det handlar om) kalla den ena riktningen för x-riktning och den andra för y.
Om du ska gå från punkten A till B kan du bara göra detta genom att gå ett visst antal kvarter i x-riktning och ett visst antal i y-riktning. Du kan inte gå diagonalt, eftersom du då skulle gå rakt genom husen och det är inte tillåtet i manhattangeometrin. Det är inte ens tillåtet att tänka tanken att man skulle kunna passera diagonalt, detta kan verka en smula förvirrande men man måste försöka göra sig av med sin intuitiva känsla av hur det "brukar" vara i geometrin.
Avstånd
Avståndet mellan punkterna A och B blir i denna geometri summan av det minsta antal steg i x- respektive y-riktning man behöver gå för att komma från A till B (eller B till A). Lägg märke till att man kan göra detta på flera olika sätt: Du kan till exempel först gå tre steg i y-led, sedan två i x-led och slutligen ett till i y-led. Eller också ett steg i x-led, fyra steg i y och ett sista steg i x-led.
I figuren ovan finns två andra alternativ utritade. I vilket fall som helst blir avståndet 6. Om vi kallar A:s koordinater för (xa, ya) och B:s för (xb, yb) kan avståndet uttryckas som |xa - xb| + |ya - yb|, dvs summan av skillnaderna (absolutbeloppen) mellan x- respektive y-koordinaterna. På detta sätt har vi skaffat oss ett sätt att mäta avstånd, en metrik.
Cirkel
 |
Artikeln eller avsnittet innehåller ifrågasatta faktauppgifter. Se diskussionssidan, eller historiken, för mer information. Rätta gärna felaktigheter. |
En cirkel definieras i vanlig geometri som mängden av punkter som befinner sig på ett visst avstånd från en given punkt. Den givna punkten kallar vi ofta medelpunkt och avståndet kallas cirkelns radie. Vi ska nu se vad som händer om vi använder samma definition i manhattangeometrin: I figuren nedan är medelpunkten markerad med blått. Till vänster är några punkter med avståndet 2 utritade. Till höger i figuren är alla punkter med avståndet 2 till medelpunkten utritade. Dessa punkter utgör alltså en cirkel med radien 2 i manhattangeometrin. I vår vanliga geometri består ju en cirkel av ett oändligt antal punkter, men i manhattangeometrin är antalet punkter ändligt, ju större cirkel desto fler punkter, men alltid ändligt många. (Så länge radien är ändlig.)
I den högra figuren är några av cirkelns punkter sammanbundna med en prickad grön linje. Denna linje utgör en fjärdedel av cirkelns omkrets. Längden av den prickade linjen är 4, således är denna cirkels omkrets 16. Om vi skulle få för oss att beräkna värdet på pi får vi pi = omkrets / 2radier = 16 / 4 = 4, inte alls det gamla vanliga 3,141...
Konklusioner
Detta område har en annan definition av avstånd än vanliga euklidiska områden, och därför uppför sig de vanliga geometrirelaterade axiomen till synes absurt. Samma typ av redefinition kan resultera i "höghusgeometri", "nilgeometri" och "djungelgeometri" men manhattangeometrin är det lättaste exemplet att förstå. Liknande redefinitioner kan göras för volymer men blir väldigt komplicerade.
