Möbiusavbildning

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

En Möbiusavbildning eller Möbiustransformation, efter August Ferdinand Möbius, är en bijektiv konform avbildning av det utökade komplexa talplanet (komplexa talen utökade med en punkt i oändligheten) på sig självt.

En Möbiusavbildning bevarar vinklar och cirklinjer (räta linjer ses som cirklar som passerar oändlighetspunkten).

En Möbiusavbildning är en rationell funktion

$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$

där $a,b,c,d \in \mathbb{C} \,:\ ad-bc \neq 0.$ Följande gäller generellt för denna avbildning

punkten $z = - d / c$ avbildas på $\infty$
punkten $z=\infty$ avbildas på $a / c$

Villkoret $ad-bc \neq 0$ är nödvändigt för att transformationen skall vara inverterbar. Den inversa avbildningen ges av

$w \mapsto \frac{\left(\frac{d}{ad-bc}\right) w - \left(\frac{b}{ad-bc}\right)}{-c w + a}$

En Möbiusavbildning bestäms entydigt om man anger tre punkter och vilka punkter de avbildas på, enligt följande: Låt $z 1$ , $z 2$ och $z 3$ vara de tre ursprungliga punkterna och $w 1$ , $w 2$ respektive $w 3$ vara de punkter de skall avbildas på. Då kan avbildningen skrivas

$\frac{(z-z_2)(z_1-z_3)}{(z-z_3)(z_1-z_2)} = \frac{(w-w_2)(w_1-w_3)}{(w-w_3)(w_1-w_2)}$

Spegelpunkter

Definiera här spegelpunkten till ett komplext tal $z$ relativt en cirkel med radie $r$ och centrum $z 0$ som det tal $z *$ som uppfyller följande:

$z 0$ , $z$ , och $z *$ ligger på samma linje.
$| z - z O | | z * - z 0 | = r 2$

Man definierar dessutom $z_0^* = \infty$ . Om speciellt cirkeln är en linje $L$ , så definiera $z *$ som det tal som ligger på normalen till $L$ som går genom $z$ , och som ligger lika långt från $L$ som $z$ , men på andra sidan. Exempelvis gäller $z^* = \bar{z}$ om $l$ är reella tallinjen. Möbiusavbildningar överför $z$ och dess spegelpunkt $z *$ relativt en cirkel $C$ på punkter $w$ och $w^\prime$ , där $w^\prime = w^*$ relativt bilden av $C$ (som är en cirkel).