Itōprocess
Från Rilpedia
Texten från svenska Wikipedia
En Itōprocess är en stokastisk process, ![\{X_t\}_{t\in[0,T]}](/w/images/sv.rilpedia.org/math/c/2/c/c2cdb3135d0c81a2b0cf665f97122661.png)
, vars element kan framställas som en summa av en 'vanlig integral' och en stokastisk integral:
![X_t = x + \int_0^t a_s \, ds + \underbrace{\int_0^t b_s \, dW_s}_{\rm{stokastisk \, integral}}, \qquad t \in [0,T].](/w/images/sv.rilpedia.org/math/e/6/e/e6e5b7c6049221cfa095cd0eae718b95.png)
En sådan framställning kallas för en stokastisk differentialekvation, och den brukar skrivas mer kortfattat på följande sätt:
De stokastiska processerna ![\{a_t\}_{t\in[0,T]}](/w/images/sv.rilpedia.org/math/b/e/8/be877a7bcfdd5c41d43b0aa6e130e8e8.png)
och ![\{b_t\}_{t\in[0,T]}](/w/images/sv.rilpedia.org/math/f/1/9/f19c4aa0058ff7751cb43780f6ce1a6d.png)
skall vara sådana att integralerna ovan existerar, vilket de gör om
![\mathbb{P}\left\{\sup_{t\in[0,T]} \int_0^t \vert a_s \vert \, ds < \infty \right\} = 1 \quad och \quad \mathbb{P}\left\{\sup_{t\in[0,T]} \int_0^t \vert b_s \vert^2 \, ds < \infty \right\} = 1.](/w/images/sv.rilpedia.org/math/2/0/c/20cc2ef90ec3c756f639eaa69182f0ba.png)
Vidare skall processernas värden vid varje tidpunkt endast bero på de tidigare värden som Wienerprocessen W antagit; värdena as och bs skall vara funktioner av värdena Wu, där tiderna u ligger före tidpunkten s:
![a_s = f_s(W_u : u \in [0,s]) \quad och \quad b_s = g_s(W_v : v \in [0,s]), \quad s \in [0,T].](/w/images/sv.rilpedia.org/math/4/b/d/4bd21dec46b5036884cac472218508b5.png)
Man säger att processerna a och b är anpassade till den filtration som Wienerprocessen genererar:
![a_s, b_s \in \sigma(W_s : s \in [0,t]), \qquad s \in [0,T].](/w/images/sv.rilpedia.org/math/9/1/7/917fad6d933c8f4073ce87614205a6b6.png)
Processen är uppkallad efter den japanske matematikern Kiyoshi Itō.
Se även
- Stokastisk integral
- Itos formel (eller Itos lemma), ett mycket viktigt resultat nära knutet till begreppet Itōprocess
Referenser
- B. Øksendal, Stochastic differential equations: An introduction with applications, Fifth edition, (2000), Springer Verlag;
- T. Björk, Arbitrage theory in continuous time, (1998), Oxford University Press;
- I. Karatzas och S.E. Shreve, Brownian motion and Stochastic calculus, Second edition, (1991), Springer Verlag
