Hölders olikhet

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Hölders olikhet är ett resultat inom den gren av matematik som kallas funktionalanalys. Olikheten kan ses som en generalisering av Cauchy-Schwarz olikhet, och är ett viktigt resultat i studiet av Lp-rum. Den används för att visa att Lp-rummen verkligen är normerade rum, vilket ges av Minkowskis olikhet, samt ett antal andra uppskattningar.

Formulering

Låt (S,Σ,μ) vara ett måttrum och låt $1 \leq p, q < \infty$ med $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . För mätbara funktioner, reell- eller komplexvärda, definieras $L p$ -normen som

$|| \ . \ ||_p : f \mapsto \biggl(\int_S |f|^p\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/p}$

Hölders olikhet ges nu av följande påstående:

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.$

Detta kan också skrivas på integralform som

$\int_S |f(x) g(x)| d\mu \leq \biggl(\int_S |f|^p\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/p} \biggl(\int_S |g|^q\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/q}.$

Eftersom en oändlig summa även kan ses som en integral (om man låter man $S = \mathbb{N}$ och μ vara räknemåttet) så kan Hölders olikhet även formuleras för följder i $\mathbb{R}^{\mathbb N}\text{ eller }\mathbb{C}^{\mathbb N}$ . Då fås följande olikhet:

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} |x_k\,y_k| \le \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p \biggr)^{\!1/p\;} \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |y_k|^q \biggr)^{\!1/q} \forall \, \, (x_k)_{k\in\mathbb N}, (y_k)_{k\in\mathbb N}\in\mathbb{R}^{\mathbb N}\text{ eller }\mathbb{C}^{\mathbb N}.$

Kommentarer

I definitionen ovan betyder $\frac{1}{\infty}$ 0. För $p = \infty$ definieras uttrycket $|| \ . \ ||_p$ som

$||f||_{\infty} = \inf \{M : \mu\{x \in S: f(x) > M\} = 0\}$ , det vill säga infimum av $\sup_{x \in S} |g(x)|$ , där g tillhör mängden av funktioner som är lika med f nästan överallt.

Hölders olikhet

Från Rilpedia

Formulering

Kommentarer

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk