Tätpunkt

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Tätpunkt är ett begrepp inom måtteori. Tätpunkter är punkter som har mycket "massa" i sin omgivning.

Innehåll

Formell definition

Låt (X,\mathcal{F},\mu,d) vara ett metriskt måttrum så att måttet \mu\, är Borel. För A \in \mathcal{F} och x \in X beteckna A:s yttre täthet i x som

\overline{\Theta}_\mu (A,x) := \limsup_{r \downarrow 0} \frac{\mu(A \cap B_r(x))}{\mu(B_r(x))},

och A:s inre täthet i x som

\underline{\Theta}_\mu (A,x) := \liminf_{r \downarrow 0} \frac{\mu(A \cap B_r(x))}{\mu(B_r(x))}.

där B_r(x)\, är en boll med avseende på metriken d\,.

Mängden A har en täthet i x om

\Theta_\mu (A,x) := \underline{\Theta}_\mu (A,x) = \overline{\Theta}_\mu (A,x).\,

En punkt x \in X är en tätpunkt om

\exist\Theta_\mu (A,x) = 1.

Motivationen för talet 1 ovan är att till exempel med Lebesguemåttet så är tätheten

0 \leq \Theta_{\mathcal{L}_n} (A,z) \leq 1,

för alla z \in \R^n.

Tillämpningar

s-dimensionella tätpunkter

Om (X,d)\, är ett separabelt metriskt rum och s \geq 0 så är för A \in \mbox{Bor}\,X och x \in X A:s s-dimensionella yttre täthet i x

\overline{\Theta}^s (A,x) := \limsup_{r \downarrow 0} \frac{\mathcal{H}^s(A \cap B_r(x))}{r^s},

och A:s inre täthet i x

\underline{\Theta}^s (A,x) := \liminf_{r \downarrow 0} \frac{\mathcal{H}^s(A \cap B_r(x))}{r^s},

där \mathcal{H}^s är s-dimensionellt Hausdorffmåttet.

Mängden A har en s-dimensionell täthet i x om

\Theta^s (A,x) := \underline{\Theta}^s (A,x) = \overline{\Theta}^s (A,x).\,

En punkt x \in X är en s-dimensionell tätpunkt för A om

\exist\Theta^s (A,x) = 1.

Om X = \R^n och s = n\, så är

\Theta^n = \Theta_{\mathcal{H}^n}.

Å andra sidan när s \neq n\, finns det många Borelmängder A och punkter x när

\Theta^s (A,x) \neq \Theta_{\mathcal{H}^s} (A,x),

eftersom

\mathcal{H}^s(B_r(x)) = \begin{cases} +\infty & \mbox{om } s < n \\ 0 & \mbox{om } s > n \end{cases},

d.v.s. Hausdorffdimensionen för B_r(x)\, är n.

s-dimensionella tätpunkter har tillämpningar i geometrisk måtteori.

Se även

Referenser

  • Kaimanovich, V. "Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0-2 laws and entropy", Proc. Harmonic Analysis and Discrete Potential Theory, 1991
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/T%C3%A4tpunkt"
Personliga verktyg