Från Rilpedia

Inom matematiken är Perron-Frobenius sats en sats om icke-negativa och positiva matriser, uppkallad efter matematikerna Oskar Perron och Ferdinand Georg Frobenius.

För positiva matriser

Låt A vara en positiv kvadratisk matris. Då gäller:

• Det finns ett positivt egenvärde λ till A som har en tillhörande positiv egenvektor v.
• λ är till beloppet större än alla andra egenvärden till A.
• Alla andra positiva egenvektorer till A är en multipel av v.
• λ har algebraisk multiplicitet 1.

För icke-negativa matriser

Låt A vara en icke-negativ kvadratisk matris. Då gäller:

• Det finns ett positivt egenvärde λ till A som har en tillhörande icke-negativ egenvektor v.
• λ är till beloppet större än eller lika med alla andra egenvärden till A.
• Alla andra positiva egenvektorer till A är en multipel av v.
• λ har algebraisk multiplicitet 1.

Om A är en irreducibel matris så gäller att v inte bara är icke-negativ, utan positiv.

Bevisskiss

Bevisskiss att satsen gäller i .

Givet är en icke-negativ 3x3-matris A. Vi tar en icke-negativ vektor v. Det inses lätt att avbildningen Av då också är icke-negativ, dvs avbildar den första oktanten på sig själv. Vi definierar funktionen:

Värdemängden till f(x) är då enbart enhetsvektorer, och vi ser att f(x) avbildar mängden av alla enhetsvektorer i första oktanten på sig själv, dvs mängden , med andra ord den del av enhetssfären som ligger i första oktanten. Denna mängd är homeomorf med en skiva i planet. Vi kan då använda Brouwers fixpunktssats, som säger att det finns ett u så att f(u) = u, vilket ger att:

Dvs, u som ligger i första oktanten (och därför är icke-negativ) är en egenvektor, och har egenvärdet (eftersom ). Alltså har A en positiv egenvektor med tillhörande positivt egenvärde.