Avståndsmängd

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Avståndsmängd är ett begrepp inom matematik. Avståndsmängden för en delmängd till ett metriskt rum är mängden av alla avstånd mellan element mängden.

Innehåll

1 Formell definition
2 Tillämpningar
3 Egenskaper
4 Geometri
- 4.1 Mått
- 4.2 Dimension
5 Se även
6 Referenser

Formell definition

Låt $(X,d)\,$ vara ett metriskt rum och $A \subset X\,$ en mängd. Då är avståndsmängden för mängden $A\,$ mängden

$D(A) := \{d(x,y) : x,y\in A\}$ ,

dvs samlingen av alla avstånd i $A \,$ .

Tillämpningar

En viktig tillämpning för avståndsmängden är diametern, diam, av en mängd som är supremum för avståndsmängden. Mer precist, diametern för en mängd $A \subset X\,$ är talet

$\mathrm{diam}(A) := \sup D(A).$

Egenskaper

Eftersom $d : X \times X \to \R_+$ är en metrik så är

$D(A) \subset D(B)\,$

och

$D(A) \subset [0,\mathrm{diam}(A)]\,$

för alla $A,B \subset X$ där $A \subset B\,$ .

Geometri

En intressant fråga är att givet att man vet någonting om mängdens geometri kan man veta det även för avståndsmängdens geometri? I $(\R^n,|\cdot|)$ finns några samband.

Mått

Steinhaus sats säger att om $A \subset \R^n\,$ är Lebesguemätbar och den har ett positivt n-dimensionellt Lebesguemått $\mathcal{L}_n (A) > 0\,$ , så är 1-dimensionella Lebesguemåttet för avståndsmängden positiv, dvs