Neutralt element
Från Rilpedia
Ett neutralt element, identitetselement eller enhetselement är inom matematiken ett speciellt sorts element i en mängd med avseende på en binär operator på mängden.
Låt S vara en mängd med en binär operator * på sig. Då är ett element e i S ett vänsterneutralt element om e * a = a för alla a i S, och ett högerneutralt element om a * e = a för alla a i S. Om e är både ett vänsterneutralt element och ett högerneutralt element kallas det för ett tvåsidigt neutralt element eller helt enkelt för ett neutralt element.
Till exempel, om (S,*) betecknar de reella talen med addition, så är 0 ett neutralt element. Om (S,*) betecknar de reella talen med multiplikation, är 1 ett neutralt element. Om (S,*) betecknar n-gånger-n kvadratiska matriser med addition, så är nollmatrisen ett neutralt element. Om (S,*) betecknar n-gånger-n matriser med multiplikation, så är enhetsmatrisen neutralt element. Identitetsfunktionen f är identitetselement under funktionssammansättning eftersom f(g(x)) = g(f(x)). Om S enbart har två element, e och f, och operatorn * definieras som e * e = f * e = e och f * f = e * f = f, så är både e och f vänster neutrala element, men det finns inga höger eller tvåsidiga neutrala element.
Som det sista exemplet visar, är det möjligt för (S,*) att ha flera olika vänsterneutrala element. Varje element kan vara ett vänsterneutralt element. På samma sätt kan det finnas flera högerneutrala element. Men om det finns både ett högerneutralt och ett vänsterneutralt element, så är dessa lika och det finns endast ett tvåsidigt neutralt element. För att se detta notera att om v är ett vänsterneutralt element och h är ett högerneutralt element så är v = v * h = h. I en associativ algebraisk struktur är identitetselement alltid unika, om de existerar.
