Generaliserat medelvärde

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Ett generaliserat medelvärde är en generalisering av de vanliga aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdena.

Innehåll

1 Definition
2 Egenskaper
3 Specialfall
4 Ordning

Definition

Ett generaliserat medelvärde av de positiva talen $x_1, x_2, \dots x_n$ är på formen

$M_p(x_1, x_2, \dots , x_n) = \left(\frac{\sum_{k=1}^{n} x^p}{n}\right)^{1/p} = \left(\frac{x_1^p + x_2^p + \dots + x_n^p}{n}\right)^{1/p}$

Eftersom $\lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}$ brukar man definiera $M_0(x_1, \dots, x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}$

Egenskaper

Ett generaliserat medelvärde är strikt, homogent, och symmetriskt. $M_p(\bar{x})=\left(\frac{1}{n} \right) ^\frac{1}{p} \|\bar{x}\|_p$ .

Specialfall

Några specialfall:

$\lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\}$ - Minimum,
$M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}$ - Harmoniskt medelvärde,
$M_0(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}$ - Geometriskt medelvärde,
$M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ - Aritmetiskt medelvärde,
$M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}$ - Kvadratiskt medelvärde,
$\lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}$ - Maximum.

Ordning

Om $p < q$ gäller $M_p(x_1,\dots,x_n) \leq M_q(x_1,\dots,x_n)$ .
En följd av detta är: $\sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}} \geq \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}$

Generaliserat medelvärde

Från Rilpedia

Innehåll

Definition

Egenskaper

Specialfall

Ordning

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk