Mätbar funktion

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

En mätbar funktion är inom matematiken en speciell sorts funktion mellan mätbara rum som bevarar mätbarheten.

Innehåll

1 Formell definition
2 Lebesguemätbar funktion
3 Borelfunktion
4 Exempel
5 Se även
6 Måtteori
7 Källor

Formell definition

För en mätbar funktion är den inversa bilden av en mätbar mängd också mätbar.

Låt $(X,\mathcal{F})\,$ och $(Y,\mathcal{G})\,$ vara mätbara rum.

En funktion $f: X \rightarrow Y$ är mätbar om

$f^{-1} (G) \in \mathcal{F}\,$

för alla $G \in \mathcal{G}\,$ .

Man kan också säga att en funktion är $\mathcal{F}\,$ -mätbar eller $(\mathcal{F},\mathcal{G})\,$ -mätbar.

Notera att man inte behöver ha något mått definierat på rummen för att avgöra om en funktion är mätbar.

Lebesguemätbar funktion

Om $(Y,\mathcal{G}) = (\R,\mbox{Leb}\,\R)\,$ kan man också säga att en mätbar funktion är Lebesguemätbar.

Borelfunktion

Låt

$\overline{\R}:=\R\cup \{ -\infty, +\infty \}.$

Om X är ett topologiskt rum, $(X,\mathcal{F}) = (X,\mbox{Bor}\,X)\,$ och $(Y,\mathcal{G}) = (\overline{\R},\mbox{Bor}\,\overline{\R})\,$ så kallas en mätbar funktion

$f: X \rightarrow \overline{\R}$

för Borelfunktion.

Eftersom Borelmängder är genererad av öppna mängder kan man bevisa att en funktion $f: X \rightarrow \R \cup \{ -\infty, +\infty \}$ är en Borelfunktion om och endast om