Från Rilpedia

En aritmetisk följd är en talföljd som är sådan att differensen mellan två intilliggande element är konstant. Summeras följden erhålls en aritmetisk summa.

Innehåll 1 Exempel på aritmetisk följd 2 Aritmetisk summa 2.1 Exempel 3 Den allmänna aritmetiska summan 3.1 Exempel 4 Se även

Exempel på aritmetisk följd

Differensen mellan två intilliggande element är konstant, lika med 2:

och så vidare.

För att beräkna det n:te elementet i talföljden kan man använda följande samband mellan det n:te elementet (a_n), det första elementet (a₁) och differensen (d) mellan intilliggande element.

Aritmetisk summa

Inom matematik är en aritmetisk summa en summa där avståndet mellan intilliggande termer är detsamma; jämför med en geometrisk summa där förhållandet mellan intilliggande termer är detsamma.

Exempel

Studera den aritmetiska summan

där avståndet mellan intilliggande termer är

Detta innebär att vi kan skriva exempelvis termen x₅ på följande sätt:

På samma sätt kan de övriga termerna i den aritmetiska summan skrivas:

För att beräkna denna summa räcker det om vi kan beräkna följande speciella aritmetiska summa:

Beteckna denna summa med symbolen S₄ (en summa bestående av fyra termer):

Hur stor är denna summa? Vi skriver summan baklänges:

Sedan adderar vi detta till S₄:

Eftersom ser vi att Den sökta summan 1 + 2 + 3 + 4 är därför:

Av detta drar vi slutsatsen att den ursprungliga aritmetiska summan är:

Den allmänna aritmetiska summan

Den allmänna aritmetiska summan består av n stycken termer:

Vi kan beräkna denna genom att använda den ovan beräknade aritmetiska summan med fem termer och ersätta talen 5 med n och 4 med n-1:

Ett alternativt sätt att uttrycka denna summa på kan vi få genom att notera att:

(Jämför med den tidigare beräkningen av x₅ = x₁ + 4a.)

Detta låter oss skriva den aritmetiska summan som:

Den allmänna formeln för en aritmetisk summa bestående av n stycken termer är:

En intressant sak att notera är att vi får samma formel om vi ersätter varje term med medelvärdet av talen x₁ och x_n:

(n stycken termer)

Exempel

Vi kan beräkna den aritmetiska summan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 för hand: Den är lika med talet 15. Enligt den allmänna formeln ovan skall summan vara lika med antalet termer (n=5), multiplicerat med medelvärdet av den första termen (x₁ = 1) och den sista termen (x₅ = 5):

Detta stämmer överens med beräkningen som vi gjorde för hand.

Den allmänna formeln är användbar då vi har väldigt många termer att addera: Det tar väldigt lång tid att beräkna summan av de hundra första positiva heltalen för hand, men med hjälp av formeln för den allmänna aritmetiska summan klarar vi det på några sekunder:

Det finns en sägen inom matematikhistorien rörande just denna summa: Det berättas att matematikernas konung, Carl Friedric Gauss, räknade ut denna summa -- med den metod som vi har använt -- när han gick i första klass. Hans lärare gav eleverna i uppgift att beräkna summan och förberedde sig på en lång paus, när lille Gauss efter några minuter traskade fram till katedern med sin griffeltavla där han hade skrivit svaret 5050. När lektionen var slut, visade det sig att det bara var Gauss som hade fått rätt svar.

Gauss skrev summan

1 + 2 + ... + 99 + 100

på sin griffeltavla och under den skrev han den igen, fast från 100 till 1:

100 + 99 + ... + 2 + 1.

Sedan summerade han varje kolumn och upptäckte att de alla blev 101:

1+100, 2+99, ...,99+2, 100+1.

Det finns 100 stycken sådana tal, så deras summa är Sedan kom han ihåg att han hade tagit med summan 1 + 2 + ... + 99 + 100 två gånger, så vad han egentligen hade beräknat var Den sökta summan måste därför vara hälften av 10100, det vill säga talet 5050.

Se även

• Geometrisk summa
• Summa