Eisensteins kriterium

Från Rilpedia

Version från den 23 mars 2009 kl. 22.00 av Calle (Diskussion)
(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Eisensteins kriterium, uppkallat efter matematikern Ferdinand Eisenstein, är inom matematiken ett tillräckligt krav för att polynom ska vara irreducibelt över de rationella talen, vilket innebär att det inte kan faktoriseras som en produkt av polynom av lägre grad. Ett polynom som uppfyller Eisensteins kriterium kallas Eisensteinpolynom.

Mer specifikt, ett polynom f(x) = anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0, där alla ak är heltal, är ett Eisensteinpolynom, och därmed irreducibelt, om det finns ett primtal p så att

  • p inte delar an
  • p delar ak för k från 0 till n − 1.
  • p2 delar inte a0.

Innehåll

Exempel

Enkelt exempel

Låt f(x) = 2x2 + 3x − 6 om vi tar primtalet 3, ser vi att det inte delar 2, men det delar 3 och -6. Dock delar 22 = 4 inte -6. Alltså är f(x) ett Eisensteinpolynom och därmed irreducibelt över de rationella talen. Observera att polynomet ändå kan faktoriseras över de reella talen (eller de algebraiska talen):

f(x) = 2x^2+3x-6 = 2\left (x+\frac{\sqrt{57}+3}{4} \right) \left(x-\frac{\sqrt{57}-3}{4} \right)

Cyklotomiska polynom

Ett cyklotomiskt polynom för ett primtal p är polynomet

f(x) = \frac{x^p-1}{x-1} = x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1

Byt nu variabel, y = x − 1 eller ekvivalent x = y + 1, sätt in i ekvationen ovan och utveckla, då man får ett nytt polynom i variabeln y med konstanten p och högstagradskoefficent 1. Konstanten är uppenbarligen delbar med p men inte p2, och högstagradskoefficenten är inte delbar med p. De andra koefficienterna kommer vara binomialkoefficienter och därmed delbara med p. Alltså är polynomet irreducibelt över de rationella talen enligt Eisensteins kriterium.

Historia

Kriteriet är uppkallat efter Ferdinand Eisenstein. Det publicerades i Crelles Journal (Journal für die reine und angewandte Mathematik), 1846, av T. Schönemann[1] och populariserades av Eisenstein i Crelles Journal 1850.[2] Einsenstein använde sig dock av koefficienter som var gaussiska heltal.

Noter

  1. ↑ T. Schönemann, Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind (1846) Journal für die reine und angewandte Mathematik. 32. Berlin: August Leopold Crelle. sid. 93. På internet 2009-03-17.
  2. ↑ Ferdinand Eisenstein, Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt (1850) Journal für die reine und angewandte Mathematik. 39. Berlin: August Leopold Crelle. sid. 160ff. På internet 2009-03-17.

Referenser

  • Svensson, Per-Anders: Abstrakt algebra, Studentlitteratur, 2001, sid. 382. ISBN 91-44-01262-4. 
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Eisensteins_kriterium"
Personliga verktyg