Zorns lemma

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Zorns lemma är, i mängdläran, en sats av fundamental betydelse. Lemmat används till exempel för att visa existens av maximalideal i ringar, baser i vektorrum samt i många andra fall när urvalsaxiomet behövs i ett existensbevis. Troligen är Zorns lemma den vanligaste formen av urvalsaxiomet i matematiska bevis.

För att kunna förstå Zorns lemma introduceras några begrepp som är av vikt även utanför denna artikel.

Innehåll

1 Definitioner
2 Zorns lemma
3 Tillämpning: Existens av en Hamel bas i ett vektorrum
- 3.1 Bevis
4 Tillämpning: Existens av en ortonormal bas i ett Hilbertrum
- 4.1 Bevis
5 Resultat ekvivalenta med Zorns lemma

Definitioner

En partiellt ordnad mängd är ett par $(M,\leq)$ där

$M$ är en icke-tom mängd;
Symbolen betecknar en binär relation på M med följande tre egenskaper
- (Reflexivitet) Varje element $a \in M$ uppfyller relationen $a \leq a$
- (Anti-symmetri) Om $a \leq b$ och $b \leq a$ så är $a = b .$
- (Transitivitet) Om $a \leq b$ och $b \leq c$ så är $a \leq c.$

En totalt ordnad mängd är en partiellt ordnad mängd $(M,\leq)$ med egenskapen att om $x$ och $y$ är två element i mängden $M$ så är $x \leq y$ eller $y \leq x.$

Ett element $u \in M$ är en övre begränsning till den partiellt ordnade mängden $(M,\leq)$ om varje element $x$ i mängden $M$ uppfyller relationen $x \leq u.$

Ett element $m \in M$ är ett maximal-element till mängden $M$ om det har egenskapen att närhelst $x$ är ett element i $M$ sådant att $m \leq x$ , så är $x = m$ .

Med dessa förberedelser gjorda kan vi formulera det centrala resultatet i denna artikel.

Zorns lemma

Låt $(M,\leq)$ vara en icke-tom partiellt ordnad mängd. Antag att varje totalt ordnad delmängd av $M$ har en övre begränsning. Då finns det minst ett maximal-element till mängden $M$ .

Tillämpning: Existens av en Hamel bas i ett vektorrum

Varje vektorrum $X \neq \{0\}$ har en Hamel bas.

Bevis

Låt $\mathcal{M}$ vara en samling bestående av alla linjärt oberoende delmängder, $A i$ , till vektorrummet $X$ . Mängden $A i$ är alltså ett element i $\mathcal{M}$ .

Eftersom $X \neq \{0\}$ så finns det ett element $x\neq 0$ i vektorrummet $X$ . Detta element ger i sin tur upphov till en-punkts mängden ${x}$ , som är en linjärt oberoende delmängd: Det enda sättet på vilket ekvationen $α x = 0$ kan uppfyllas, är om det komplexa talet $α = 0.$ Detta visar att ${x}$ är ett element i samlingen $\mathcal{M}$ , varför denna är en icke-tom mängd.

Paret $(M,\subseteq)$ är en partiellt ordnad mängd, där den binära relationen ' $\subseteq$ ' betecknar mängd-inklusion: $A \subseteq B$ betyder att $A$ är en delmängd till mängden $B$ .

Låt $\mathcal{A} = \{A_i\}_{i \in I}$ vara en godtycklig totalt ordnad delmängd av $\mathcal{M}$ . Varje objekt $A i$ är en linjärt oberoende delmängd av vektorrummet $X$ . Unionen av dessa delmängder, $B = \cup_{i\in I} A_i$ , är också en linjärt oberoende delmängd av $X$ , varför $B \in \mathcal{M}$ . Objektet $B$ är enligt konstruktion en övre begränsning till $\mathcal{A}$ . Detta visar att varje total ordnad delmängd av $\mathcal{M}$ har en övre begränsning.

Zorns lemma låter oss då dra slutsatsen att samlingen $\mathcal{M}$ har minst ett maximal-element. Låt $H$ vara ett maximal-element till $\mathcal{M}$ . Betraktad som ett element i samlingen $\mathcal{M}$ , är $H$ en linjärt oberoende delmängd av vektorrummet $X$ . Det är därför meningsfullt att studera det linjära spannet $s p a n (H)$ av $H$ .

Enligt definionen av linjärt spann är $s p a n (H)$ en delmängd av $X$ . Vi skall visa att $X = s p a n (H)$ genom att anta motsatsen. Vi antar alltså att det finns ett element $w \in X$ som inte är ett element i $s p a n (H)$ . Detta element ger upphov till den linjärt oberoende mängden ${w}$ som, tillsammans med $H$ , ger den linjärt oberoende delmängden $\{w\} \cup H$ av vektorrummet $X$ . Vi ser att $H \subseteq \{w\} \cup H$ , varför vi måste dra slutsatsen att $H = \{w\} \cup H$ eftersom $H$ är ett maximal-element till den partiellt ordnade mängden $(\mathcal{M},\subseteq)$ . Detta innebär att $w \in H$ , vilket motsäger antagandet att $w \notin H$ .

Sammanfattningsvis har vi visat att det finns en linjärt oberoende delmängd $H\subseteq X$ som är sådan att $s p a n (H) = X$ , det vill säga: Mängden $H$ är en Hamel bas för vektorrummet $X$ .

Tillämpning: Existens av en ortonormal bas i ett Hilbertrum

Varje Hilbertrum $X \neq \{0\}$ har en ortonormal bas.

Bevis

Låt $\mathcal{M}$ vara en samling betående av alla ortonormala delmängder av Hilbertrummet $H$ . Det finns ett element $x \neq 0$ i detta Hilbertrum, eftersom vi antar att $H \neq \{0\}$ . Detta element ger upphov till den ortonormala mängden ${y}$ , där elementet $y=\Vert x \Vert^{-1}x$ , vilket visar att samlingen $\mathcal{M}$ är icke-tom.

Paret $(\mathcal{M},\subseteq)$ utgör en partiellt ordnad mängd, där symbolen $\subseteq$ betecknar mängd-inklusion.

Låt $\mathcal{A} = \{A_i\}_{i\in I}$ vara en godtycklig totalt ordnad delmängd av $\mathcal{M}$ . Elementen i $\mathcal{A}$ utgörs av ortogonala delmängder till Hilbertrummet $H$ . Unionen av dessa delmängder, $B = \cup_{i\in I}A_i$ , är också en ortogonal delmängd av $H$ . Eftersom varje mängd $A i$ är en delmängd av $B$ , det vill säga $A_i \subseteq B$ , är $B$ en övre begränsning till samlingen $\mathcal{A}$ , med avseende på den partiella ordningen ' $\subseteq$ '. Detta visar att varje totalt ordnad delmängd av $\mathcal{M}$ har en övre begränsning.

Zorns lemma låter oss dra slutsatsen att samlingen $\mathcal{M}$ har ett maximal-element, som vi betecknar med symbolen $F$ . Detta maximal-element är en ortonormal delmängd av Hilbertrummet $H$ . Om vi kan visa att $F$ även är en total delmängd av $H$ , så är $F$ en ortonormal bas till Hilbertrummet.

Det slutna höljet $\overline{span(F)}$ av det linjära spannet $s p a n (F)$ är en delmängd av $H$ . Vi vill visa att $H = \overline{span(F)}$ . För att göra detta antar vi motsatsen och visar att detta leder till en motsägelse.

Vi antar därför att det finns ett element, $z\neq0$ , i Hilbertrummet $H$ som är sådant att $z \notin \overline{span(F)}$ . Detta element är ortogonalt mot mängden F. Tillsammans bildar de den ortonormala mängden $F \cup \{e\} \in \mathcal{M}$ , där elementet $e = \Vert z \Vert^{-1}z$ . Vi ser att $F \subseteq F \cup \{e\}$ , vilket innebär att vi tvingas dra slutsatsen att $F = F \cup \{e\}$ , eftersom $F$ är ett maximal-element till den partiellt ordnade mängden $(\mathcal{M},\subseteq)$ . Detta leder fram till motsägelsen: $z \in F$ och $z \notin F$ .

Sammanfattningsvis har vi visat att varje Hilbertrum $H \neq \{0\}$ har en ortonormal bas.

Resultat ekvivalenta med Zorns lemma

Zorns lemma är ekvivalent med Urvalsaxiomet: Låt E vara en mängd. Då finns det en funktion $f : 2^E \longrightarrow E$ som avbildar varje delmängd $M \subseteq E$ på ett element $f(M) \in M$ .

Urvalsaxiomet är också ekvivalent med Tychonoffs teorem inom topologi: Låt $\{(X_i,T_i)\}_{i\in I}$ vara en familj av kompakta topologiska rum. Då är paret $(\prod_{i\in I}X_i,\,\prod_{i\in I}T_i)$ ett kompakt topologiskt rum, där $\prod_{i\in I}T_i$ betecknar

produkt-topologin på $\prod_{i\in I}X_i$ .

Zorns lemma är ekvivalent med Hausdorffs maximalitetsprincip: Låt vara en partiellt ordnad mängd. Då finns det en totalt ordnad mängd sådan att
- $E \subseteq X$ ;
- Om $M \subseteq X$ är sådan att $E \subset M$ , så är $(M,\leq)$ inte en totalt ordnad mängd.

Ett annat sätt att uttrycka Hausdorffs maximalitetsprincip är: Varje partielllt ordnad mängd har en maximal totalt ordnad delmängd.

Zorns lemma är ekvivalent med principen om väl-ordning: För varje icke-tom mängd X går det att konstruera en ordningsrelation $\leq$ på X, sådan att paret $(X,\leq)$ är en välordnad mängd.

Zorns lemma är en sats inom mängdläran. Lemmat används till exempel för att visa existens av maximalideal i ringar, baser i vektorrum samt i många andra fall när urvalsaxiomet behövs i ett existensbevis. Troligen är Zorns lemma den vanligaste formen av urvalsaxiomet i matematiska bevis.

Givet en icke-tom partiellt ordnad mängd M som är sådan att varje kedja har en övre gräns, så existerar ett maximalt element i M.

Zorns lemma visas med hjälp av urvalsaxiomet. Vidare kan urvalsaxiomet, givet mängdlärans övriga axiom, visas med hjälp av Zorns lemma. Därmed är Zorns lemma och urvalsaxiomet ekvivalenta givet axiomen i ZF.

Zorns lemma

Från Rilpedia

Innehåll

Definitioner

Zorns lemma

Tillämpning: Existens av en Hamel bas i ett vektorrum

Bevis

Tillämpning: Existens av en ortonormal bas i ett Hilbertrum

Bevis

Resultat ekvivalenta med Zorns lemma

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk