Från Rilpedia

Det slutna höljet till en mängd M är inom matematik är mängden av alla punkter som, intuitivt uttryckt, ligger "nära" M.

Innehåll 1 Definition 2 Egenskaper 3 Exempel 4 Slutet hölje som operator

Definition

Låt M vara en mängd och låt L vara mängden av alla M:s hopningspunkter. Då definieras det slutna höljet av M som unionen av M och L:

Detta kan även uttryckas som att slutna höljet till M är M med sin rand:

Egenskaper

Det slutna höljet har följande egenskaper:

.

är den minsta slutna mängden som innehåller M.

är snittet av alla slutna mängder som innehåller hela M.

M är sluten om och endast om .

Om så följer att .

Ibland används den andra eller den tredje egenskapen som definitionen av det slutna höljet.

Exempel

• I alla rum X så är det slutna höljet av den tomma mängden den tomma mängden och .
• Det slutna höljet till det öppna intervallet ]0,1[ är det slutna intervallet [0,1].
• Det slutna höljet till de rationella talen är de reella talen, man säger att de rationella talen är en tät delmängd till de reella talen.
• I komplexa talplanet är det slutna höljet av (den öppna skivan) lika med (den slutna skivan).

Slutet hölje som operator

I ett rum X, låt M vara en mängd, M ⁻ det slutna höljet till M och M^o det inre till M. Följande samband kopplar ihop det slutna höljet med det inre:

• 
• 

Där är komplementet till M i X.