Från Rilpedia

I kategoriteori, en abstrakt generalisering av många områden av matematiken, är morfismer eller morfier generaliseringar av funktioner. De har därför flera av de egenskaper som funktioner har, som att man kan bilda "sammansättningar" av morfismer på liknande sätt som funktionssammansättningar. I konkreta kategorier är också morfismer funktioner med vissa speciella egenskaper, men för kategorier i allmänhet behöver inte detta vara fallet.

Några exempel på morfismer är homomorfier från kategorierna som studeras i universell algebra (till exempel moduler, grupper och ringar), kontinuerliga funktioner mellan topologiska rum, element i en grupp då gruppen betraktas som en speciell slags kategori, kurvor i ett topologiskt rum (vilka bildar en gruppoid), och funktorer mellan små kategorier.

Sammansättningar och identiteter.

Om X, Y och Z är objekt i en kategori, f är en morfism mellan X och Y, och g är en morfism mellan Y och Z, så finns en morfism mellan X och Z som betecknas g o f och kallas sammansättningen av g och f. Om kategorin är konkret, så är g o f funktionssammansättningen av g och f i vanlig mening. I vilket fall är morfismsammansättning associativ i samma mening som vanlig funktionssammansättning är det: Om f, g och h är morfismer sådana att sammansättningarna g o f och h o g är definierade, så är (h o g) o f = h o (g o f).

Varje objekt X i varje kategori har en identitetsmorfism id_X vilken verkar som ett neutralt element under sammansättningsoperationen. Med andra ord är f o id_X = f för varje morfism mellan X och något objekt Y, och id_X o g = g för varje morfism mellan Y och X. Om kategorin är konkret, så är id_X den vanliga identitetsavbildningen på X.

Morfismer med särskilda egenskaper

I samtliga fall nedan används två namnformer, en kortare på -morfi och en längre på -morfism. Förleden används också ibland som adjektiv. Om f är en given morfism, så uttrycker följande tre utsagor samma sak: "f är en isomorfi", "f är en isomorfism", och "f är iso".

• Om f: X -> Y och g: Y -> X uppfyller f o g  =  id_Y, så kallas f för en vänsterinvers till g, och g för en högerinvers till f. Vidare säges ibland f vara en retraktion och g en sektion. En morfism kan ha flera olika vänsterinverser, eller flera olika högerinverser, men man kan visa att om f både har en vänsterinvers och en högerinvers, så är de unika och lika.
• Om f både har en vänster- och en högerinvers, så är f en isomorfi. Med andra ord är morfismen f: X -> Y iso, om det finns en morfism g: Y -> X sådan att f o g  =  id_Y och g o f  =  id_X. I så fall finns bara en sådan morfism g, och den kallas inversen till f, och är själv en isomorfi (med f som invers). Två objekt kallas isomorfa, om det finns en isomorfi mellan dem.
• En morfism f: X -> X är en endomorfi på X.
• En endomorfism som även är en isomorfi är en automorfi.
• Antag att för alla g: Y -> Z, h: Y -> Z och g o f  =  h o f, det alltid visar sig att g  =  h. Då är f en epimorfi. Varje retraktion är en epimorfi.
  En epimorfi med en högerinvers kallas en splittad epimorfi.
• Antag att för alla g: W -> X, h: W -> X och f o g  =  f o h, det alltid visar sig att g  =  h. Då är f en monomorfi. Varje sektion är en monomori.
  En monomorfi med en vänsterinvers kallas en splittad monomorfi.
• Om f är både en epimorfi och a monomorfi, så är f en bimorfi. Notera att inte varje bimorfi är en isomorfi! Däremot, måste varje morfism som både är epi och en sektion, eller både är mono och en retraktion, vara iso.

• En homeomorfism är helt enkelt en isomorfi i kategorin av topologiska rum med kontinuerliga funktioner som morfismer.
• En diffeomorfism är helt enkelt en isomorfi i kategorin av släta mångfalder.