Laurentserie

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

En Laurentserie är en serie på formen \sum _{-\infty} ^\infty c_k(z - z_0)^k, där c_k\in\mathbb{C}. En Laurentserie konvergerar i områden av formen r < | z | < R. Detta kan inses genom att betrakta de två serierna

\sum_{-\infty} ^{-1} c_k(z-z_0)^k, som konvergerar på ett område av formen r < | z | och \sum_0 ^\infty c_k(z-z_0)^k, som konvergerar på ett område av formen | z | < R. Koefficienterna ck för Laurentserieutvecklingen av en funktion f, analytisk i ett område av typen r < | z | < R, kan bestämmas ur Cauchys integralformel:

c_k = \frac{1}{2\pi i} \oint _\Gamma \frac{f(z)dz}{(z - z_0)^{k + 1}}, där Γ är en positivt orienterad kurva med z_0 \in Int \Gamma, på vilken f är analytisk.

Om f i själva verket är analytisk i området | z | < R, visar Cauchys integralsats, som säger att kurvintegralen av en funktion som är analytisk innanför integrationskonturen är noll, att Laurentserieutvecklingen är en Taylorserie.


Lebesgue Icon.svg Denna artikel om matematisk analys är bara påbörjad. Du kan hjälpa till genom att utöka den.
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Laurentserie"
Personliga verktyg