jω-metoden

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

jω-metoden, j-omega-metoden, används för att beräkna strömmar och spänningar i växelströmskretsar.

Genom att representera impedanserna för spolar (induktanser) och kondensatorer (kapacitanser) med komplexa tal kan man tillämpa den relativt enkla likströmsteorin på kretsar med växelspänningar av konstant frekvens (till exempel 50 Hz nätspänning).

Vid \ j\omega-metoden används symbolen \ j för den imaginära enheten. Orsaken är att symbolen \ i inom elektrotekniken ofta används för att beteckna strömmar. \ j\omega-metoden grundar sig i huvudsak på följande:

  • Växelströms/växelspänningsförloppen antas vara sinusformiga
  • Växelströms/växelspänningsförloppens frekvenser \ \omega (radianer per sekund) antas vara konstanta. De induktiva och kapacitiva egenskaperna hos en krets är därmed konstanta (varierar ej med växelförloppens frekvenser).
  • En induktans ger en fasvridning av +90 grader. För ett komplext tal motsvaras detta av en multiplikation med imaginära enheten. Den komplexa induktiva impedansen kan då skrivas som \ j\omega L
  • En kapacitans ger en fasvridning av -90 grader. För ett komplext tal motsvaras detta av en division med imaginära enheten. Den komplexa kapacitiva impedansen kan därför skrivas {1 \over j\omega C}
  • En resistans ger en fasvridning av 0 grader vilket motsvarar ett komplext tal med imaginärdelen lika med noll och kan skrivas som \ R

Även strömmar och spänningar skrivs som komplexa tal, till exempel som

u = \hat u \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\varphi _u)}
i = \hat i \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\varphi _i)}

På grund av de komplexa talens egenskaper kan således ett komplext tal beskriva både belopp och fasvinkel för en impedans, ström eller spänning. Det går därmed att beräkna växelstorheter enligt de vanliga grundläggande reglerna och samtidigt implicit behandla både belopp och fas.

Exempel

Visardiagram för tre seriekopplade impedanser med resistans, induktans och kapacitans. Visaren för R används som riktfas vilket betyder att fasen för den växelspänning/växelström som ligger över/genomlöper R är fasreferens/riktfas

Impedansen för en seriekoppling av tre komponenter med resistans, induktans respektive kapacitans kan skrivas som ett komplext tal enligt

z = R + j\omega L + {1 \over j\omega C} = R + j(\omega L - {1 \over \omega C})

Av visardiagrammet till höger framgår att den resulterande fasvridningen för de seriekopplade impedanserna är

\theta = \arctan{\omega L - {1 \over \omega C}\over R}

vilket är samma värde som argumentet för den komplexa impedansen \ z.

Det framgår också att resultantens belopp i visardiagrammet är lika med \ |z|.

I visardiagrammet används en riktfas (visaren för R, den resistiva komponenten) som fasreferens. Riktfasen har ofta samma fas som strömmen genom resistorn om sådan förekommer i kretsen.

Ofta används en särskild notation för de komplexa impedanserna, strömmarna och spänningarna:

belopp\angle(fasvinkel)

Med den notationen kan till exempel Ohms lag skrivas

Z = \frac{u}{i}
= \frac{\hat u \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\varphi _1)}}{\hat i \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\varphi_2)}} = \frac{\hat u \angle(\omega t + \varphi _1)}{\hat i \angle(\omega t + \varphi _2)}

Vi ser av uttrycket för \ Z att om \varphi_1 = \varphi_2, det vill säga om \ u och \ i är i fas, att

Z = \frac{\hat u \angle(\omega t + \varphi _1)}{\hat i \angle(\omega t + \varphi _2)} = \frac{\hat u}{\hat i} \angle(\omega t + \varphi _1 - \omega t - \varphi _2) = \frac{\hat u}{\hat i} \angle(0) = R

Givet att

u = \hat u \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\varphi _u)}
i = \hat i \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\varphi _i)}

och med \ i som riktfas, kan vi skriva den utvecklade effekten som

p = {1 \over 2}\hat u \cdot \hat i \angle(\varphi _u - \varphi _i)

där \ \varphi _u - \varphi _i är fasdifferensen mellan spänningen och strömmen och där faktorn {1 \over 2} beror på övergång till effektivvärden för \ u och \ i. Den reella effekten erhålls genom projektion av resultanten på den resistiva komponenten \ R som kan antas ha samma riktning som \ i:

\ P = |p| \cdot cos(\varphi _u - \varphi _i) = Re(p)

det vill säga, \ P är \ p's reella del.

Historik

\ j\omega-metoden går tillbaka till Arthur Edwin Kennelly (1861-1939), som 1893 presenterade ett arbete om "Impedance" vid det amerikanska ingenjörsinstitutet American Institute of Electrical Engineers, AIEE.

Se även

Personliga verktyg
På andra språk