Implikation
Från Rilpedia
En logisk implikation förenar två påståenden till ett nytt påstående med betydelsen att om det ena påståendet gäller så gäller även det andra. Språkligt används konstruktioner som "om p så q", "såvida p så q", "q givet p" m.fl.
 |
|---|
| Logisk operator, Logisk grind |
|
Innehåll |
Negation av implikation
I det naturliga språket finns två grundläggande skilda betydelser av "om p så q": Den ena är ett uttalande om q, givet att p är uppfyllt. Den andra är ett uttalande att det råder ett villkorsförhållande mellan p och q, dvs att "det är sant att: om p så q". Skillnaden mellan dessa två betydelse framgår klarast vid negation av implikationen:
- "Det är inte så att: om Kalle kommer till festen så kommer även Lisa" = "Det är så att: om Kalle kommer till festen så kommer inte Lisa". Detta är ett uttalande om huruvida Lisa kommer eller inte, givet att Kalle kommer.
- "Det är inte sant att: om Kalle kommer till festen så kommer även Lisa" = "Det är falskt att: om Kalle kommer till festen så kommer även Lisa". Detta är ett uttalande om huruvida implikationen är sann eller inte.
Materiell implikation
Materiell implikation betecknas vanligen med →, ⇒ eller ⊃. Implikationens egenskaper beskrivs i klassisk logik som en funktion – en sanningsfunktion – av de ingående påståendenas sanning. Satsen p → q är sann om antingen satsen q är sann eller satsen p är falsk. p→q är ett skrivsätt för ¬p ∨ q (klausul). Detta kan beskrivas med följande sanningstabell (s = sann, f = falsk): :
| p | q | p → q | ¬p ∨ q |
| s | s | s | s |
| s | f | f | f |
| f | s | s | s |
| f | f | s | s |
Vissa egenskaper hos den materiella implikationen ger upphov till paradoxala resultat. Dessa sammanfattas under benämningen implikationsparadoxer.
Implikation i Boolesk algebra
Särskild operator för implikation saknas i boolesk algebra men materiell implikation kan uttryckas genom (¬p ∨ q), ¬(p ∧ ¬q) eller genom funktionen:
(p → q) = 1 - p + p*q
| p | q | p → q |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Boolesk algebra är isomorf med klassisk logik.
Implikation i första ordningens logik
I första ordningens logik (FOL) spelar implikationer en viktig roll, bl.a. vid formalisering av kvantifierade påståenden och syllogistiska slutledningar. Kvantifierade påståenden kan skrivas om och formaliseras till implikationer. Ex:
- "Alla hästar har fyra ben." kan skrivas "För alla x gäller: om x är en häst så har x fyra ben." formaliserat ∀x(Hx → Bx), där ∀ betyder "alla".
- "De flesta däggdjur är inte människor." kan skrivas "För de flesta x gäller: om x är ett däggdjur så är x inte en människa." formaliserat (most x)(Dx → ¬Mx). Eftersom "De flesta däggdjur är inte människor" inte betyder detsamma som "De flesta människor är inte däggdjur", så gäller inte kontraposition här, dvs (A → ¬B) = (B → ¬A), så materiell implikation kan ej användas för formalisering i detta fall.
Stark implikation
"Det är nödvändigt att om p så q" uttrycker en starkare implikation (mer specifik mening) än materiell och tillhör den modala logiken. Stark implikation betecknas med -3 (fishhook) och påståendet p -3 q eller med tillägget L (nödvändigt sann) till implikationen:
L(p → q) = (p -3 q)
Kausalitet
Implikationer kan även uttrycka kausalitet – orsak och verkan. Denna tillämpning tillhör den temporala logiken och är starkare påståenden än materiell.
Tekniska lösningar
I elektriska kretsar, pneumatik, hydraulik, mekanik etc kan funktioner som motsvarar implikationer realiseras.
Switchnät
Grindnät
Funktionen hos materiell implikation kan realiseras med en OR-grind med en inverterad ingång (H = hög nivå, L = låg nivå):
 |
|
