Gauss konstant

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Gauss konstant är en matematisk konstant betecknad G och definierad som reciproken till det aritmetisk-geometriska medelvärdet av 1 och roten ur två,

G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})}.

Dess decimalutveckling är (talföljd A014549 i OEIS)

0,8346268416740731862814297...

och talet ges av kedjebråket (talföljd A053002 i OEIS)

[0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, ...].

Koppling till lemniskatan

Konstanten har fått sitt namn efter Carl Friedrich Gauss som den 30 maj 1799 upptäckte att den är lika med

G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}

vilket relaterar den till lemniskatan. Konstanten kan användas för att definiera lemniskatekonstanterna som används för att ange båglängden av en lemniskata. Den första konstanten ges av

L_1\;=\;\pi G,

den andra av

L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G}.

Övriga samband

Gauss konstant kan användas för att ange gammafunktionen av 1/4 med ett slutet uttryck,

\Gamma \left( \frac{1}{4} \right) = \sqrt{2G \sqrt{ 2\pi^3 } },

och eftersom π och Γ(1/4) är algebraiskt oberoende är Gauss konstant därmed ett transcendent tal. Gauss konstant är även lika med

G = \frac{2}{\pi} \, \mathrm{\Beta} \left( \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right)

där Β betecknar betafunktionen. Ytterligare ett uttryck för G, i termer av thetafunktioner, är

G = \vartheta_4^2(e^{-\pi}).

En snabbt konvergerande serie är

G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left [\sum_{n = -\infty}^{\infty} -1^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right ]^2.
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Gauss_konstant"
Personliga verktyg
På andra språk