Fjärdegradsekvation

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Graf över en fjärdegradsekvation med 3 lokala extrempunkter.

En fjärdegradsekvation är en ekvation som kan skrivas på formen

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \,$

där a ≠ 0.

Fjärdegradsekvationen har alltid fyra lösningar (rötter) räknade med multiplicitet. Om koefficienterna a, b, c, d och e alla är reella tal kommer även antingen alla fyra lösningarna, två av lösningarna eller ingen av lösningarna vara reella tal.

Innehåll

1 Bakgrund
2 Lösningsskiss
- 2.1 Enklare fall
- 2.2 Allmän lösning, enligt Ferraris modell
  - 2.2.1 Konvertering till en komprimerad fjärdegradsekvation
  - 2.2.2 Ferrari's lösning
    - 2.2.2.1 Sammanfattning av Ferrari's lösningsmetod
3 Femtegradsekvationen?
4 Källor

Bakgrund

Den allmänna fjärdegradsekvationen löstes först efter det att den generella lösningsskissen för tredjegradsekvationen tagits fram. Detta skedde på 1500-talet av Cardanos elev L. Ferrari, men publicerades av Cordano i Ars Magna år 1545. Själva principen i lösningsmallen för fjärdegradaren är att transformera den till en tredjegradsekvation för att sedan lösa den enligt den generella lösningsgången.

Lösningsskiss

Det enklaste sättet att lösa en fjärdegradsekvation är att hitta en rot (r) och sedan dividera ekvationen med x − r), för att på så sätt få en tredjegradsekvation som blir lättare att lösa.

Enklare fall

Begränsat fall

Om e (konstanttermen) = 0 så kommer även en av rötterna att vara x = 0, och övriga rötter kan då finnas genom att dividera polynomet med x och sedan lösa den tredjegradsekvation man då får.

Uppenbara rötter: 1, −1 och −k

Sätt vår fjärdegradsekvation som P(x). Då $1 n = 1$ så är $P (1) = a + b + c + d + e$ . Därav följer att om $a + b + c + d + e = 0$ så är P(1) = 0 och därigenom är x = 1 en rot till P(x). På samma sätt gäller även att om $a + c + e = b + d$ så är x = −1 en rot.

Om b är en multipel (k) av a, e är en multipel (k) av d och c = 0, så är även en x= −k en rot till ekvationen. Detta följer av att man skriver om ekvationen enligt följande:

$a x^4+ a k x^3 + c x + c k = a x^3 (x +k ) + c (x+k) = (a x^3 + c) (x+k) \,$ .

I samtliga tre exemplen så dividerar man polynomet med (x − 1), (x + 1) eller (x + k), vilket ger en tredjegradsekvation som sedan löses för att få fram övriga rötter.

Bikvadratisk ekvation

En fjärdegradsekvation där b och d är lika med 0 (alltså $a x 4 + c x 2 + e = 0$ löses enkelt genom ett variabelbyte ( $x 2 = z$ ), som ger oss en andragradsekvation $a z 2 + c z + e = 0$ som sedan löses på sedvanligt sätt. Observera att lösningen av $a z 2 + c z + e = 0$ ger oss 1 eller 2 rötter, som sedan vid insättning i $x 2 = z$ ger oss 2 eller 4 rötter.

Halvsymmetrisk ekvation

Om vår fjärdegradsekvation ser ut enligt följande, så har vi en halvsymmetrisk ekvation:

$ax^4+bx^3+cx^2+b m x+a m^2=0 \,$

En halvsymmetrisk ekvation löses genom att första dela ekvationen med x² och sedan genomföra ett variabelbyte (z = x + m/x). Då får man åter igen en andragradsekvation som enkelt löses enligt gängse rutin.

$\frac{ax^4+bx^3+cx^2+b m x+a m^2}{x^2}=ax^2+bx+c+\frac{bm}{x} +\frac{am^2}{x^2} = az^2+bz +c -2m \,$

Allmän lösning, enligt Ferraris modell

Ferrari fann en metod för att lösa fjärdegradsekvationer som klarar av att ta fram samtliga rötter, oavsett multiplicitet. Till att börja med så måste vi konvertera vår fjärdegradsekvation till en komprimerad fjärdegradsekvation.

Konvertering till en komprimerad fjärdegradsekvation

Börja med att dela båda leden i vår ekvation med a,

$x^4 + {b \over a} x^3 + {c \over a} x^2 + {d \over a} x + {e \over a} = 0.$

Första steget efter det blir att eliminera x³-termen. Detta görs genom ett variabelbyte ( $x = u - {b \over 4 a}$ ). Då får man

$\left( u - {b \over 4 a} \right)^4 + {b \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right)^3 + {c \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right)^2 + {d \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right) + {e \over a} = 0.$

Utvecklar man ekvationen så får man

$\left( u^4 - {b \over a} u^3 + {6 u^2 b^2 \over 16 a^2} - {4 u b^3 \over 64 a^3} + {b^4 \over 256 a^4} \right) + {b \over a} \left( u^3 - {3 u^2 b \over 4 a} + {3 u b^2 \over 16 a^2} - {b^3 \over 64 a^3} \right)$ $+ {c \over a} \left( u^2 - {u b \over 2 a} + {b^2 \over 16 a^2} \right) + {d \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right) + {e \over a} = 0.$

Förenklar vi sedan uttrycket så får vi

$u^4 + \left( {-3 b^2 \over 8 a^2} + {c \over a} \right) u^2 + \left( {b^3 \over 8 a^3} - {b c \over 2 a^2} + {d \over a} \right) u + \left( {-3 b^4 \over 256 a^4} + {c b^2 \over 16 a^3} - {b d \over 4 a^2} + {e \over a} \right) = 0.$

Därefter byter vi namn på koefficienterna till u enligt följande:

$\begin{align} \alpha & = {-3 b^2 \over 8 a^2} + {c \over a} ,\\ \beta & = {b^3 \over 8 a^3} - {b c \over 2 a^2} + {d \over a} ,\\ \gamma & = {-3 b^4 \over 256 a^4} + {c b^2 \over 16 a^3} - {b d \over 4 a^2} + {e \over a} . \end{align}$

Resultatet blir då

$u^4 + \alpha u^2 + \beta u + \gamma = 0 \qquad \qquad (1)$

vilket är en komprimerad fjärdegradsekvation.

Om $\beta=0 \$ så har vi en Bikvadratisk ekvation, vilket enkelt löses enligt ovan.

Om $\gamma=0 \$ så är en av rötterna u = 0, vilket är ett begränsat fall, vilket också löses enkelt enligt ovan.

Ferrari's lösning

om både $\beta \ne 0 \$ och $\gamma \ne 0 \$ så kan vi lösa den komprimerade fjärdegradsekvationen enligt Lodovico Ferraris metod. När man väl har sin komprimerade fjärdegradsekvation så adderar man följande

$(u^2 + \alpha)^2 - u^4 - 2 \alpha u^2 = \alpha^2\,$

till ekvation (1), och får på så sätt

$(u^2 + \alpha)^2 + \beta u + \gamma = \alpha u^2 + \alpha^2. \qquad \qquad (2)$

Målet med detta är att få en perfekt kvadrat i högerledet på ekvationen (u² + α)².

Nästa steg är att addera en variabel y i parentesen i vänstra ledet i ekvation (2), och en motsvarande 2y i koefficienten av u²-termen på högra sidan. För att lyckas med detta så använder vi oss av följande två samband i ekvation (2).

$\begin{matrix} (u^2+\alpha+y)^2-(u^2+\alpha)^2 & = & 2y(u^2+\alpha)+ y^2\ \ \\ & = & 2yu^2+2y\alpha+y^2, \end{matrix}$

och

$0 = (\alpha + 2 y) u^2 - 2 y u^2 - \alpha u^2\,$

Adderar man dessa två samband så får man

$(u^2 + \alpha + y)^2 - (u^2 + \alpha)^2 = (\alpha + 2 y) u^2 - \alpha u^2 + 2 y \alpha + y^2 \qquad \qquad (\hbox{insättning av }y)\,$

som efter addition med ekvation (2) ger oss

$(u^2 + \alpha + y)^2 + \beta u + \gamma = (\alpha + 2 y) u^2 + (2 y \alpha + y^2 + \alpha^2)\,$

vilket är ekvivalent med

$(u^2 + \alpha + y)^2 = (\alpha + 2 y) u^2 - \beta u + (y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma). \qquad \qquad (3)\,$

Nu är nästa steg att välja ett värde på y så att det högra ledet av ekvationen (3) blir en perfekt kvadrat. Detta görs lättast genom att låta diskriminanten av den kvadratiska funktionen bli noll.

För att göra om det högra ledet av ekvationen (3) till en perfekt kvadrat, så måste följande ekvation lösas:

$(-\beta)^2 - 4 (2 y + \alpha) (y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma) = 0.\,$

Multiplicera ihop parenteserna

$\beta^2 - 4 (2 y^3 + 5 \alpha y^2 + (4 \alpha^2 - 2 \gamma) y + (\alpha^3 - \alpha \gamma)) = 0\,$

Dividera båda sidorna med −4, och flytta −β²/4.

$2 y^3 + 5 \alpha y^2 + ( 4 \alpha^2 - 2 \gamma ) y + \left( \alpha^3 - \alpha \gamma - {\beta^2 \over 4} \right) = 0 \qquad \qquad$

Vi har nu fått en tredjegradsekvation för y, i vilken vi delar båda leden med 2,

$y^3 + {5 \over 2} \alpha y^2 + (2 \alpha^2 - \gamma) y + \left( {\alpha^3 \over 2} - {\alpha \gamma \over 2} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0. \qquad \qquad (4)$

Genom ytterliggare ett variablebyte ( $y = v - {5 \over 6} \alpha$ ) så blir ekvation (4)

$\left( v - {5 \over 6} \alpha \right)^3 + {5 \over 2} \alpha \left( v - {5 \over 6} \alpha \right)^2 + (2 \alpha^2 - \gamma) \left( v - {5 \over 6} \alpha \right) + \left( {\alpha^3 \over 2} - {\alpha \gamma \over 2} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0.$

Expandering och förenkling ger oss sedan följande ekvation:

$\left( v^3 - {5 \over 2} \alpha v^2 + {25 \over 12} \alpha^2 v - {125 \over 216} \alpha^3 \right) + {5 \over 2} \alpha \left( v^2 - {5 \over 3} \alpha v + {25 \over 36} \alpha^2 \right) + (2 \alpha^2 - \gamma) \left( v - {5 \over 6} \alpha \right) + \left( {\alpha^3 \over 2} - {\alpha \gamma \over 2} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0.$

$v^3 + \left( - {\alpha^2 \over 12} - \gamma \right) v + \left( - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0.$

Vi byter koefficienterna enligt följande:

$P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma,$

$Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8}.$

Och får då följande tredjegradsekvation

$v^3 + P v + Q = 0. \qquad \qquad (5)$

Lösningarna på denna ekvation (5), (vilken som helst fungerar, så ta valfri komplex rot) räknas ut enligt följande:

$y = - {5 \over 6} \alpha + U + V \qquad \qquad (6)$

där

$U=\sqrt[3]{-{Q\over 2}\pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}}$

och V räknas ut enligt definitionerna som $- U 3 - V 3 = Q$ som $- 3 U V = P$ . Detta ger oss då att

$V=\begin{cases} -\frac{P}{3U}&\text{ if }U\ne 0\\ -\sqrt[3]{Q}&\text{ if }U=0\ . \end{cases}$

Med y given av ekvation (6) så är det nu klart att det högra ledet av ekvation (3) är en perfekt kvadrat av formen

$(s^2)u^2+(2st)u+(t^2) = \left(\left(\sqrt{(s^2)}\right)u + {(2st) \over 2\sqrt{(s^2)}}\right)^2$

(Detta är sant, oavsett vilket tecken man sätter framför rottecknen, så länga man sätter samma på bägge.)

Detta gör att vi kan skriva om den ekvation så här:

$(\alpha + 2 y) u^2 + (- \beta) u + (y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma ) = \left( \left(\sqrt{(\alpha + 2y)}\right)u + {(-\beta) \over 2\sqrt{(\alpha + 2 y)}} \right)^2$ .

Observera: Om β ≠ 0 så är α + 2y ≠ 0. Om β = 0 så skulle detta vara en bikvadratisk ekvation, vilket vi redan gått igenom.

Ekvation (3) kan därför skrivas så här:

$(u^2 + \alpha + y)^2 = \left( \left(\sqrt{\alpha + 2 y}\right)u - {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right)^2 \qquad\qquad (7)$ .

Förenkling, utveckling och samlande av termer ger oss sedan följande ekvation

$u^2 + \left(\mp_s \sqrt{\alpha + 2 y}\right)u + \left( \alpha + y \pm_s {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right) = 0 \qquad\qquad (8)$ .

Anmärkning: Index s i $\pm_s$ och $\mp_s$ är där för att visa att de beror på varandra.

Ekvation (8) är en andragradsekvation till u med följande lösning:

$u={\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{(\alpha + 2y) - 4(\alpha + y \pm_s {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}})} \over 2}.$

Förenklar vi denna lösning något så får vi slutligen följande:

$u={\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2y \pm_s {2\beta \over \sqrt{\alpha + 2 y}} \right)} \over 2}.$

Vilket ger oss lösningen på vår ursprungliga fjärdegradsekvation.

$x=-{b \over 4a} + {\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2y \pm_s {2\beta \over \sqrt{\alpha + 2 y}} \right)} \over 2}. \qquad\qquad (9)$

Kom ihåg att de två $\pm_s$ kommer från ekvation 8 och skall ha samma tecken, medan $\pm_t$ kan vara både plus och minus, oberoende av $\pm_s$ .

Sammanfattning av Ferrari's lösningsmetod

Om vi har en given ekvation:

$a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0, \,$

så kan man få ut dess lösningar med hjälp av följande beräkningar:

$\alpha = - {3 b^2 \over 8 a^2} + {c \over a},$

$\beta = {b^3 \over 8 a^3} - {b c \over 2 a^2} + {d \over a},$

$\gamma = - {3 b^4 \over 256 a^4} + {c b^2 \over 16 a^3} - {b d \over 4 a^2} + {e \over a}.$

Om $\,\beta=0,$ så får vi

$x=-{b\over 4a}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2}.$

Om $\,\beta\ne 0,$ , så får vi istället:

$P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma,$

$Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8},$

$R = -{Q\over 2} \pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}},$

(Både plus och minus framför rottecknet fungerar.)

$U = \sqrt[3]{R},$

(Har tre komplexa rötter, vilken som av dessa fungerar)

$y = \begin{cases} - {5 \over 6} \alpha + U - \frac{P}{3U} & \text{om }U\ne 0\\ -{5\over 6} \alpha - \sqrt[3]{Q} & \text{om }U=0 \end{cases}$

$W=\sqrt{ \alpha + 2 y}$

$x = - {b \over 4 a} + { \pm_s W \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2 y \pm_s {2\beta\over W} \right) }\over 2 }.$

Båda ±_s måste ha samma tecken medan ±_t är oberende av de andra två. För samtliga lösningar, beräkna x med samtliga kombinationer av plus och minus för ±_s och ±_t.

Femtegradsekvationen?

Fjärdegradsekvationen är den ekvation av högst grad som är lösningsbar enligt en generell mall där endast de fyra räknesätten och rotutdragning används. Detta visade Paolo Ruffini, men då hans resonemang hade vissa brister har beviset tillskrivits Niels Henrik Abel, norsk matematiker. Abel bevisade snarare att femtegradsekvationen är omöjlig att lösa enbart genom algebraiska operationer.

Källor

Weisstein, Eric W. "Quartic Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com
Thompson, Jan, Matematiklexikon (1991), Whalström och Widstrand, ISBN 91-46-16515-0

Fjärdegradsekvation

Från Rilpedia

Innehåll

Bakgrund

Lösningsskiss

Enklare fall

Begränsat fall

Uppenbara rötter: 1, −1 och −k

Bikvadratisk ekvation

Halvsymmetrisk ekvation

Allmän lösning, enligt Ferraris modell

Konvertering till en komprimerad fjärdegradsekvation

Ferrari's lösning

Sammanfattning av Ferrari's lösningsmetod

Femtegradsekvationen?

Källor

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk