Diracs delta-funktion

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Diracs delta-funktion (även kallad Dirac-pulsen eller enhetsimpuls) efter Paul Dirac som introducerade den, betecknas $δ(t)$ och är en distribution, definierad av hur den beter sig när den är en del av en integrand:

$\int_a^b f(t)\,\delta(t-t_0)~dt = \begin{cases} f(t_0) & \mbox{om } a < t_0 < b \\ 0 & \mbox{annars} \end{cases}$

Distributionen kan ses som gränsvärdet då basen i en rektangel med arean 1 och ett hörn i origo går mot noll. Detta gör att den även kan ses som en funktion vars värde är lika med noll överallt utom i punkten $t = 0$ .

Den tidsdiskreta versionen av delta-funktionen $δ(n)$ är noll överallt utom för $n = 0$ då den är lika med 1.

Bör inte förväxlas med Kroneckerdelta.

Innehåll

1 Exempel
- 1.1 Hur man ytterligare intuitivt kan se det
2 Se även
3 Källor
4 Länkar

Exempel

Ponera att vi har en stav med en inhomogen yta där tjockleken på staven varierar. Vi inför nu en funktion som vi kallar för $f(t)\,\!$ som beskriver masstätheten längs med staven. Fysikaliskt definierar den massan per l.e. på staven i punkten t och matematiskt definieras den som en funktion så att massan i ett intervall a till b är

$\int_a^b f(t)dt$

Däremot om massan fördelas över staven i ett begränsat antal punkter och inte kontinuerligt så fallerar ovanstående beskrivning. Detta eftersom att om vi tänker oss att vi har en tråd med försumbar massa med en liten men tung droppe fasthängd i mitten vid $t = 0\,\!$ . Antag nu att droppen har en massa och är liten så att den matematiskt kan beskrivas som en punkt. Massan är noll på intervallet $\begin{bmatrix} a , b \end{bmatrix}$ om 0 ligger utanför intervallet och ett om 0 ingår i intervallet. Det finns ingen funktion, f dock som kan uppfylla dessa kriterier. Om det fanns så skulle vi ha $f(t) = 0\,\!$ för alla $t\ne 0$ , eftersom att massan per l.e. är noll utom i $t = 0\,\!$ . Det som händer dock då en funktion försvinner utom i en punkt är att man kan visa att integralen över intervallen måste vara noll. Då man integrerar över ett intervall och där t = 0 ingår så kommer man aldrig att kunna erhålla det korrekta värdet ett. Ur en fysikalisk synvinkel är masstätheten 0 utom i $t = 0\,\!$ där den är oändlig emedan en begränsad massa är koncentrerad i ett intervall där längden är noll. Därmed erhåller vi en integral som är icke-noll. Detta resultat kan rent fysikaliskt ses som rimligt trots att det matematiskt ter sig ologiskt. Dirac införde en funktion $\delta(t)\,\!$ med dessa egenskaper och som definieras enligt följande:

$\delta(t) = 0 \,\!$ för $x\ne 0$

En graf för att förtydliga att diracs deltafunktion är derivatan till Heavisidefunktionen

Man kan likaväl använda gaussfunktionen och visa att arean är 1 under grafen.

En schematisk bild av diracs deltafunktion.

och

$\int_a^b f(t)dt=1$ $a < 0 < b \,\!$

Hur man ytterligare intuitivt kan se det

Vi säger att dessa två räknelagar gäller för Diracs deltafunktion.

$\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1.$

Ur dessa räknelagar kan vi erhålla dessa viktiga egenskaper;

$\int_{-\infty}^\infty f(t)\,\delta(t-t_0)~dt = f(t_0)$

och

$f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0)\,\!$

för varje funktion $f(t)\,\!$ som är kontinuerlig i $t_0\,\!$

Man kan tänka sig att man skapar deltafunktionen genom att låta den vara en "lådfunktion" som har den konstanta arean 1. Det man sedan gör är att man låter basen, som är parallell med x-axeln, närma sig origo samtidigt som man låter höjden, som är parallell med y-axeln, öka. Antag att vi har en funktion, $f_{1}(x)\,\!$ där höjden är 1 och bredden 1. Skapa sen en funktion, $f_{2}(x)\,\!$ där höjden är 2 och bredden 1/2. Fortsätt genom att skapa en funktion, $f_{3}(x)\,\!$ med höjden 4 och bredden 1/4. Sista steget är att skapa en funktion, $f_{4}(x)\,\!$ där höjden är 8 och bredden en 1/8. Det som nu sker är att höjden på kurvan stadigt stiger medan bredden på kurvan minskar. Detta kommer slutligen att rendera i ett rakt streck mer eller mindre, desto smalare man gör bredden. Dessutom, det alla dessa funktioner har gemensamt är att deras integraler, bredden x höjden = 1. Detta är hur man intuitivt "bevisar" diracs deltafunktion. Det är ju egentligen ingen riktigt funktion utan är som enligt ovan nämnt en distrubution.