Cauchys integralkriterium

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Cauchys integralkriterium används inom matematiken till att avgöra om en talserie är konvergent eller inte genom att jämföra med motsvarande integral.

Om $f(x)\$ är positiv och avtagande på intervallet $[1,\infty[$ gäller att

$\sum_{k=1}^{\infty} f(k)\$ är konvergent om och endast om $\int_{1}^{\infty} f(x)\;dx\$ är det

Bevis

Eftersom f(x) är avtagande gäller $f(x) \leq f(k)\$ om $x \geq k \$ . Alltså gäller

$\int_{k}^{k+1} f(x) \;dx \leq \int_{k}^{k+1} f(k) \;dx = \left[f(k) \cdot x\right]_{k}^{k+1} = f(k).$

$\int_{1}^{\infty} f(x) \;dx = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k}^{k+1} f(x) \;dx \leq \sum_{k=1}^{\infty} f(k)$

Dvs om serien är konvergent är integralen konvergent

På samma sätt gäller

$\int_{k}^{k+1} f(x) \;dx \geq \int_{k}^{k+1} f(k+1) \;dx = \left[f(k+1) \cdot x\right]_{k}^{k+1} = f(k+1).$

$\int_{1}^{\infty} f(x) \;dx = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k}^{k+1} f(x) \;dx \geq \sum_{k=1}^{\infty} f(k+1) = \left(\sum_{k=1}^{\infty} f(k) \right) - f(1)$

Dvs om integralen är konvergent är serien konvergent

Alltså är serien konvergent om och endast om integralen är konvergent

Exempel

Den harmoniska serien

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots$ är konvergent om och endast om $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\;dx \$ är det. Detta är dock inte fallet, eftersom

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \;dx = \left[\ln x\right]_1^{\infty} = \infty\$

Cauchys integralkriterium

Från Rilpedia

Bevis

Exempel

Den harmoniska serien

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda