Borel-Cantellis lemma

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Inom matematiken, specifikt inom sannolikhetsteorin och måtteori, är Borel-Cantellis lemma ett antal resultat med vilka man kan undersöka om en följd av stokastiska variabler konvergerar eller ej.

Borel-Cantellis lemma

Om $A_1, A_2, A_3, \ldots$ är en följd av alltmer ovanliga händelser, så kommer endast ändligt många av dem att inträffa:

$\sum_{ n = 1 }^\infty P( A_n ) < \infty ~ \Rightarrow ~ P\left( \limsup_{n\to\infty} A_n \right) = 0.$

Beteckningen $P (A n)$ står för sannolikheten att händelsen $A n$ skall inträffa.

Om $A_1, A_2, A_3, \ldots$ är en följd av vanligt förekommande oberoende händelser, så kommer oändligt många av dem att inträffa:

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \infty ~ \Rightarrow ~ P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)= 1.$

En mer allmän form av det första av Borel-Cantellis lemma gäller godtyckliga måttrum: Om $(X, \mathcal F, \mu)$ är ett måttrum och $A_1, A_2, A_3, \ldots$ är en följd av element i sigma-algebran $\mathcal F$ så gäller

$\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) < \infty ~ \Rightarrow ~ \mu \left( \limsup_{n \to \infty} A_n \right) = 0;$

måttet $μ$ behöver inte vara ändligt.

Bevis för det första av Borel-Cantellis lemmata

Scenariot att oändligt många av händelserna $A_1, A_2, A_3, \ldots$ skall inträffa kan skrivas

$\limsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \underbrace{ \left( \bigcup_{m=n}^\infty A_m \right)}_{ = B_n } = \bigcap_{n=1}^\infty B_n.$

Händelserna $B_1, B_2, B_3 ,\ldots$ är mindre och mindre delar av varandra:

$B_1 \supseteq B_2 \supseteq B_3 \supseteq \cdots;$

detta innebär dels att snittet av de $N$ stycken första händelserna är samma sak som händelsen $B N$ :

$\bigcap_{n=1}^N B_n = B_N$

och dels att sannolikheterna för att händelserna skall inträffa blir mindre och mindre:

$P(B_1) \geq P(B_2) \geq P(B_3) \geq \cdots.$

Villkoret

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n) < \infty$

att summan av sannolikheterna för händelserna $A_1, A_2, A_3 ,\ldots,$ är ändlig innebär att sannolikheterna $P (B N)$ blir hur små som helst ju större talet N är:

$\lim_{N\to \infty} P(B_N) = 0.$

Det faktum att ett sannolikhetsmått är ett ändligt mått låter oss dra slutsatsen att

$P(\lim_{N \to \infty} B_N) = \lim_{N \to \infty} P(B_N).$

Eftersom händelserna $B_1, B_2, \ldots$ är delar av varandra vet vi att

$\bigcap_{n=1}^\infty B_n = \lim_{N \to \infty} B_N.$

Därför kan vi säga att

$P(\limsup_{n\to \infty} A_n) = P(\lim_{N \to \infty} B_N) = \lim_{N \to \infty} P(B_N) = 0.$

Koppling till konvergens av stokastiska variabler

En följd av stokastiska variabler ${X n}$ konvergerar mot den stokastiska variabeln $X$ om 'avståndet' $\vert X_n - X \vert$ avtar mot noll då index $n$ växer. (Det finns många olika tolkningar av begreppet avstånd mellan stokastiska variabler.)

Låt $A n$ vara händelsen att 'avståndet' mellan $X n$ och $X$ är större än talet $1 / n$ :

$A_n = \left\{\omega \in \Omega : \vert X_n(\omega) - X(\omega) \vert \geq 1/n\right\}.$

Om dessa händelser successivt blir så ovanliga att deras sannolikheter avtar, så att $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) < \infty,$ så säger Borel-Cantellis lemma att endast ändligt många av dem kommer att inträffa; Detta innebär att det finns ett ändligt (stokastiskt) index $N$ sådant att:

$\vert X_n - X \vert < 1/n, \quad n > N.$

Det går därför att få 'avståndet' mellan $X n$ och $X$ hur litet som helst, så länge som man väljer index $n$ tillräckligt stort; Med andra ord konvergerar följden ${X n}$ mot $X$ .

Borel-Cantellis lemma

Från Rilpedia

Borel-Cantellis lemma

Bevis för det första av Borel-Cantellis lemmata

Koppling till konvergens av stokastiska variabler

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk