Utkast:Slaterdeterminant

Från Rilpedia

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Från enwp (för översättning))
Rad 1: Rad 1:
-
In [[quantum mechanics]], a '''Slater determinant''' (named after the American physicist [[John C. Slater]]) is an expression for the [[wavefunction]] of a many-[[fermion]] system, which by construction satisfies the [[Pauli principle]].
+
En '''slaterdeterminant''' (efter den Amerikanske fysikern [[John C. Slater]]) är inom  [[kvantmekanik]]en ett uttryck för [[vågfunktion]]en av ett fler-[[fermion]] system, som har den inneboende egenskapen att den uppfyller [[pauliprincipen]]
-
The Slater determinant arises from the consideration of a wavefunction for a collection of electrons. The wavefunction for each individual electron is known as a [[spin-orbital]], <math>\chi(\mathbf{x})</math>, where <math>\mathbf{x}</math> indicates the position and spin of the electron.  
+
Slaterdeterminanten härrör från att man ser på en vågfunktion som en hop elektroner. Vågfunktionen för varje enskild elektron kallas [[spin-orbital]], <math>\chi(\mathbf{x})</math>, där <math>\mathbf{x}</math> indikerar positionen och spinnet hos elektronen.
-
== Two-particle case ==
+
== Fallet med två partiklar ==
-
The simplest way to approximate the wavefunction of a many-particle system is to take the product of properly chosen ''one-electron wavefunctions'' of the individual particles. For the two-particle case, we have
+
Det enklaste sättet att approximera vågfunktionen av ett flerkroppssystem är att ta produkten av väl valda ''en-elektron vågfunktioner'' av de individuella partiklarna. För fallet med två partiklar har vi
:<math>
:<math>
Rad 11: Rad 11:
</math>
</math>
-
This expression is used in the [[Hartree method]] as an [[ansatz]] for the molecular wavefunction and is known as a [[Hartree product]]. However, it is not satisfactory for [[fermions]], such as electrons, because the wavefunction is not antisymmetric. An antisymmetric wavefunction can be mathematically described as follows:
+
Detta uttryck används i [[Hartreemetoden]] som en [[ansatz]] för den molekylära vågfunktionen och är känd som en [[Hartreeprodukt]]. I vilket fall så är den inte tillfredsställande för [[fermion]]er som [[elektron]]er eftersom vågfunktionen inte är antisymmetrisk. En antisymmetrisk vågfunktion kan matematiskt beskrivas enligt:  
:<math>
:<math>
Rad 17: Rad 17:
</math>
</math>
-
Therefore the Hartree product does not satisfy the Pauli principle. This problem can be overcome by taking a linear combination of both Hartree products
+
Därför uppfyller alltså inte hartreeprodukten pauliprincipen. Detta problem kan man komma över genom att ta en linjärkombination av båda hartreeprodukterna:
:<math>
:<math>
Rad 23: Rad 23:
</math>
</math>
-
where the coefficient is a [[normalization factor]]. This wavefunction is antisymmetric and no longer distinguishes between electrons. Moreover, it also goes to zero if any two wavefunctions or two electrons are the sameThis is equivalent to satisfying the [[Pauli exclusion principle]].
+
där koefficienten är en [[normalisering]]sfaktor. Denna vågfunktion är antisymmetrisk och skiljer inte längre mellan elektroner. Vidare går den också till noll om två av vågfunktionerna eller två av elektronerna är identiskaDetta är liktydigt med uppfyllandet av [[Pauliprincipen]].
== Generalization to the Slater determinant ==
== Generalization to the Slater determinant ==

Versionen från 5 april 2007 kl. 17.36

En slaterdeterminant (efter den Amerikanske fysikern John C. Slater) är inom kvantmekaniken ett uttryck för vågfunktionen av ett fler-fermion system, som har den inneboende egenskapen att den uppfyller pauliprincipen

Slaterdeterminanten härrör från att man ser på en vågfunktion som en hop elektroner. Vågfunktionen för varje enskild elektron kallas spin-orbital, \chi(\mathbf{x}), där \mathbf{x} indikerar positionen och spinnet hos elektronen.

Fallet med två partiklar

Det enklaste sättet att approximera vågfunktionen av ett flerkroppssystem är att ta produkten av väl valda en-elektron vågfunktioner av de individuella partiklarna. För fallet med två partiklar har vi


\Psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = \chi_1(\mathbf{x}_1)\chi_2(\mathbf{x}_2).

Detta uttryck används i Hartreemetoden som en ansatz för den molekylära vågfunktionen och är känd som en Hartreeprodukt. I vilket fall så är den inte tillfredsställande för fermioner som elektroner eftersom vågfunktionen inte är antisymmetrisk. En antisymmetrisk vågfunktion kan matematiskt beskrivas enligt:


\Psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = -\Psi(\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_1).

Därför uppfyller alltså inte hartreeprodukten pauliprincipen. Detta problem kan man komma över genom att ta en linjärkombination av båda hartreeprodukterna:


\Psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\{\chi_1(\mathbf{x}_1)\chi_2(\mathbf{x}_2) - \chi_1(\mathbf{x}_2)\chi_2(\mathbf{x}_1)\}

där koefficienten är en normaliseringsfaktor. Denna vågfunktion är antisymmetrisk och skiljer inte längre mellan elektroner. Vidare går den också till noll om två av vågfunktionerna eller två av elektronerna är identiska. Detta är liktydigt med uppfyllandet av Pauliprincipen.

Generalization to the Slater determinant

The expression can be generalised to any number of fermions by writing it as a determinant. For an N-electron system, the Slater determinant is defined as


\Psi(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_N) =
\frac{1}{\sqrt{N!}}
\left|
   \begin{matrix} \chi_1(\mathbf{x}_1) & \chi_1(\mathbf{x}_2) & \cdots & \chi_1(\mathbf{x}_N) \\
                      \chi_2(\mathbf{x}_1) & \chi_2(\mathbf{x}_2) & \cdots & \chi_2(\mathbf{x}_N) \\
                      \vdots & \vdots && \vdots \\
                      \chi_N(\mathbf{x}_1) & \chi_N(\mathbf{x}_2) & \cdots & \chi_N(\mathbf{x}_N)
   \end{matrix} 
\right|.

The linear combination of Hartree products for the two-particle case can clearly be seen as identical with the Slater determinant for N = 2. It can be seen that the use of (Slater) determinants assures an antisymmetrized function on the outset, symmetric functions are automatically rejected. In the same way, the use of Slater determinants assures the obeying of the Pauli principle; the determinant will vanish if any of the two spin-orbitals are identical, for this leads to two identical rows.

A single Slater determinant is used as an approximation to the electronic wavefunction in Hartree-Fock theory. In more accurate theories (such as configuration interaction and MCSCF), a linear combination of Slater determinants is needed.

The word "detor" was proposed by S. F. Boys to describe the Slater determinant of the general type [1].

References

  1. Electronic wave functions I. A general method of calculation for the stationary states of any molecular system, S. F. Boys, p542, A200 (1950), Proc. Roy.Soc. (London).
Personliga verktyg