( Alla Forum | Redaktionsforum | RilSource | Engelsk Rilpedia | Rilbible )

Singulärt mått

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Ett singulärt mått är ett begrepp inom matematisk måtteori. Måttet är singulärt med andra måttet om där finns en mängd som är nollmängd och vars komplement är nollmängd med avseende på andra måttet.

Innehåll

1 Formell definition
2 Exempel
3 Tillämpningar
4 Se även

Formell definition

Låt $(X,\mathcal{F})$ vara ett mätbart rummet och $\mu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]\,$ och $\nu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]\,$ mått.

Måttet $\mu\,$ är singulärt med avseende på måttet $\nu\,$ om där finns $S \in \mathcal{F}$ så att

$\mu (S) = 0 = \nu (X\setminus S)$ ,

dvs S är $\mu\,$ -nollmängden och X\S är $\nu\,$ -nollmängden.

Om $\mu\,$ är singulärt $\nu\,$ man betäckar

$\mu\perp\nu$ .

Operatoren $\perp$ kommutativ:

$\mu\perp\nu = \nu\perp\mu$ .

Exempel

Lebesguemåttet är singulärt med avseende på Diracmåttet. Låt $\delta_x\,$ vara Diracmåttet i punkten $x \in \R^n$ . Eftersom $\{x\}\,$ är sluten mängden, det är Borelmängden och därför Lebesguemätbara mängden. Å andra sidan

$\mathcal{L}_n (\{x\}) = 0 = \delta_x (\R^n \setminus\{x\})$ ,

dvs {x} är $\mathcal{L}_n\,$ -nollmängden och Rⁿ\{x} är $\delta_x\,$ -nollmängden. Så att

$\mathcal{L}_n\perp\delta_x$

för alla $x \in \R^n$ .

Tillämpningar

Man kan fördela alla sigma-ändligt mått till singulära och absolut kontinuerliga bitar med Lebesgues uppdelningsatsen.

Se även

Mått (matematik)

Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Singul%C3%A4rt_m%C3%A5tt"

Kategori: Måtteori

Visningar

Personliga verktyg

Logga in

Sök

Verktygslåda

På andra språk