Nilpotent matris

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Inom matematiken är en nilpotent matris en kvadratisk matris M sådan att Mk = 0 för något positivt heltal k.

Exempel

Matrisen A nedan är nilpotent.


A =
\begin{pmatrix} 
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Eftersom A3 = 0:


A^2 = A \times A =
\begin{pmatrix} 
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}


A^3 = A \times A^2 =
\begin{pmatrix} 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Egenskaper

Låt M vara en  n \times n nilpotent matris:

För det minsta talet k sådan att Mk = 0 gäller att  k \leq n .

M:s alla egenvärden är noll, för om λ är ett egenvärde till M:

 M\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}

Så gäller att:

 M^2\mathbf{x}=MM\mathbf{x} = M\lambda\mathbf{x} = \lambda M\mathbf{x} = \lambda^2\mathbf{x}

och i förlängningen (genom matematisk induktion):

 M^k\mathbf{x} = \lambda^k\mathbf{x} .

Men, då Mk = 0 är vänsterledet noll, och alltså måste  \lambda^k = 0 \Rightarrow \lambda = 0 . Detta ger även att både M:s determinant och spår är noll, samt att M:s sekularpolynom är λn

Personliga verktyg