Kedjeregeln

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Kedjeregeln, regel som talar om hur man deriverar sammansatta funktioner.

Om

y = f (u)

och

u = g (x)

, så att

y = f (g (x))

,

anger kedjeregeln att

${d \over dx} f(g(x)) = f^\prime(g(x))g^\prime(x),$

eller med Leibniz notation

${dy \over dx} = {dy \over dg} {dg \over dx},$

där det är den senare notationen som har gett upphov till namnet kedjeregeln.

I flervariabelanalys fungerar kedjeregeln på ett liknande sätt.

Om

$y=f(\mathbf{u}(x))$ och $\mathbf{u}(x) = (u_1(x), ..., u_n(x))$

så är

$\frac{dy}{dx}= \frac{\partial f}{\partial u_1}\frac{du_1}{dx} + ... + \frac{\partial f}{\partial u_n}\frac{du_n}{dx}$ .

Eftersom gradienten

$\nabla f = \left ( \frac{\partial f}{\partial u_1}, ..., \frac{\partial f}{\partial u_n} \right)$

och derivatan av den inre funktionen u är

$\mathbf{u}'(x) = \left ( \frac{du_1}{dx}, ..., \frac{du_n}{dx} \right )$

inser vi att derivatan $\frac{dy}{dx}$ kan skrivas som en skalärprodukt enligt

$\frac{dy}{dx} = \nabla f \cdot \mathbf{u}'$ .

Detta bekräftar att gradienten spelar samma roll inom flervariabelanalysen som den enkla derivatan inom envariabelanalysen.

Not: Normalt görs ingen skillnad i notationen mellan variablerna u_n och funktionerna g_n(x), utan låter dessa betecknas med samma bokstav. För tydlighets skull har dock dessa skilts åt.

Se även

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Kedjeregeln

Från Rilpedia

Se även

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk