Sigma-algebra

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

En σ-algebra (sigma-algebra) är ett matematiskt objekt

som är av central betydelse då man studerar måtteori och integrationsteori.

Syftet med begreppet sigma-algebra är att beskriva vilka delar av en given mängd X som går att mäta. En ofta använd strategi att lösa problem eller lära sig om hur ett föremål är beskaffat är att splittra upp det i mindre beståndsdelar för att därefter studera dessa separat. Nu kan man inte splittra upp ett objekt i vilka delar som helst, utan dessa måste se ut på ett visst sätt. Den matematiska motsvarigheten till det sätt på vilket ett objekt får splittras i är begreppet sigma-algebra. Genom att utesluta vissa, "mycket konstiga", delmängder av X får man en sigma-algebra som är mycket lättare att hantera.

Innehåll

1 Formell beskrivning
2 Snitt och unioner av sigma-algebror
3 Sigma-algebra genererad av familj av delmängder
- 3.1 Exempel: Borel sigma-algebra
- 3.2 Exempel: Produkt sigma-algebra
4 Sigma-algebra genererad av en avbildning
5 Sigma-algebra genererad av flera avbildningar
6 Doob-Dynkins lemma
- 6.1 Bevis av Doob-Dynkins lemma

Formell beskrivning

En σ-algebra (sigma-algebra) över en mängd X är en familj $\mathcal{A}$ av delmängder av X som är sådan att

$\mathcal{A}$ är icke-tom: $X \in \mathcal{A}$
$\mathcal{A}$ är sluten under komplementsbildning: $E \in \mathcal{A} \Rightarrow X \setminus E \in \mathcal{A}$ .
$\mathcal{A}$ är sluten under uppräkneliga unioner. Det innebär att om mängderna $\{U_i\}_{i=1}^{\infty}$ tillhör $\mathcal{A}$ , så är deras union $\cup_{i=1}^\infty U_i$ också ett element i $\mathcal{A}$ .

Om $\mathcal{A}$ är en sigma-algebra i X så man kallas ofta paret $(X, \mathcal{A})$ ett mätbart rum.

En viktig detalj att notera är att elementen i en sigma-algebra på X utgörs av delmängder till X, inte punkter i X.

Om vi exempelvis låter X vara två-punkts mängden X = { 0, 1 }, så kan en sigma-algebra på X vara familjen { Ø, X }; I denna sigma-algebra är mängden X ett element.

Ett sätt att visualisera detta är följande.

Låt X vara en LEGO^TM-modell och delmängder till X vara bitar av modellen. En sigma-algebra på X kan då uppfattas som en påse (mängd) som innehåller modellen och dess bitar.

Snitt och unioner av sigma-algebror

Låt $A$ och $B$ vara två sigma-algebror på mängden X.

Snittet $A \cap B$ är också en sigma-algebra på X. Den är en del-sigma-algebra av både $A$ och $B$ .
Unionen $A \cup B$ är inte nödvändigtvis en sigma-algebra på X.

Följande exempel visar att familjen $A \cup B$ inte behöver vara en sigma-algebra, bara för att familjerna $A$ och $B$ är det.

Tag mängden X = {0,1,2} och de två sigma-algebrorna A = { Ø, X, {0}, {1,2} } samt B = { Ø, X, {1}, {0,2} }. Unionen av dessa sigma-algebror är familjen

$A \cup B = \{ \emptyset, X, \{0\}, \{1\}, \{1,2\}, \{0,2\} \}.$

Om detta vore en sigma-algebra så skulle unionen, {0,1}, av mängderna {0} och {1} vara ett element i familjen $A \cup B$ .

Sigma-algebra genererad av familj av delmängder

Låt C vara en godtycklig familj av delmängder till en mängd X. Det finns sigma-algebror, $F i$ , av olika storlekar som har familjen C som en del av sig:

$C \subseteq F_i.$

Den minsta av dessa sigma-algebror kallas sigma-algebran genererad av familjen C och betecknas $σ(C)$ ; den är definierad som snittet av alla sigma-algebror som omfattar C:

$\sigma(C) = \bigcap_i F_i.$

Exempel: Borel sigma-algebra

Ett exempel på en sigma-algebra som är genererad av en familj av delmängder ges av ett topologiskt rum (X,T): Objektet T är en familj av delmängder till X som besitter vissa egenskaper; för detaljer se artikeln Topologiskt rum. Sigma-algebran, σ(T), genererad av denna familj kallas Borel sigma-algebran på X.

Exempel: Produkt sigma-algebra

Låt $(X, F)$ och $(Y, G)$ vara två mätbara rum. På den cartesiska produkten $X \times Y$ skall en sigma-algebra konstrueras baserad på de tillgängliga sigma-algebrorna $F$ och $G$ .

En första tanke kanske är att bilda familjen

M

bestående av alla produkter $A \times B$ , där A är ett element i F och B ett element i G:

$F \times G = \{ A \times B : A \in F, B \in G \}$

Denna familj behöver inte vara en sigma-algebra på $X \times Y$ bara för att F är en sigma-algebra på X och G är en sigma-algebra på Y, vilket följande exempel visar.

Låt

F

= { Ø, X } vara den triviala sigma-algebran på X och

G

= { Ø, Y } den triviala sigma-algebran på Y. Produkten av dessa familjer är familjen

$F \times G = \{ \emptyset \times \emptyset , \emptyset \times Y, X \times \emptyset , X \times Y \}.$

Om vi tar de två elementen $A = \emptyset \times Y$ och $B = X \times \emptyset$ , så måste deras union

$A \cup B = \{ \emptyset \times Y, X \times \emptyset \}$

vara ett element i familjen om denna är en sigma-algebra på den cartesiska produkten $X \times Y$ .

Den korrekta definitionen av produkt-σ-algebran på $X \times Y$ är som den minsta sigma-algebra som innehåller familjen $F \times G$ ovan; den vanligast förekommande beteckningen för denna är $F \otimes G = \sigma(F \times G).$

Sigma-algebra genererad av en avbildning

Låt $f : X \longrightarrow Y$ vara en avbildning från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$ . Detta innebär att familjen $f^{-1}(\mathcal{G})$ är en delfamilj av sigma-algebran $\mathcal{F}$ . Elementen i denna familj ser ut på följande sätt:

$f^{-1}(G) = \{x \in X : f(x) \in G\}, \qquad G \in \mathcal {G}.$

De utgör en sigma-algebra på mängden X – faktum är att detta är den minsta sigma-algebra på X som gör f till en mätbar avbildning.

Man kallar den för sigma-algebran genererad av avbildningen f och skriver σ(f):

$\sigma(f) = f^{-1}(\mathcal{G}).$

Sigma-algebra genererad av flera avbildningar

Låt $f : X \longrightarrow Y$ och $g : X \longrightarrow Y$ vara två avbildningar från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$ .

Unionen $f^{-1}(\mathcal{G}) \cup g^{-1}(\mathcal{G})$ av det två sigma-algebrorna $f^{-1}(\mathcal{G})$ och $g^{-1}(\mathcal{G})$ är inte nödvändigtvis själv en sigma-algebra på $X$ ; det är däremot sigma-algebran

$\sigma\left(f^{-1}(\mathcal{G}) \cup g^{-1}(\mathcal{G})\right)$ .

Detta är den minsta sigma-algebra på X som gör både f och g till mätbara avbildningar. Man kallar detta för sigma-algebran genererad av avbildningarna f och g, och skriver

$\sigma (f,g) \,$ .

På samma sätt som ovan definierar man sigma-algebran $\sigma({f_i : i \in I})$ genererad av avbildningar $f_i : X \longrightarrow Y$ från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$ .

Doob-Dynkins lemma

Låt f och g vara två avbildningar från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$ :

$f,g : X \longrightarrow Y.$

Avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av f om, och endast om, det finns en mätbar avbildning F som "sammanbinder" avbildningarna f och g:

$g = F \circ f, \qquad F : Y \longrightarrow Y.$