Heavisides expansionsregel

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Heavisides expansionsregel är inom matematiken en metod för att bestämma koefficienter vid partialbråksuppdelning, uppkallad efter Oliver Heaviside.

Metoden

Heavisides expansionsregel kan användas då faktorerna i nämnaren har formen (x-a)^n\,, och då täljarens gradtal är strikt mindre än nämnarens. Om så inte är fallet kan polynomdivision utföras.

Den vanliga ansatsen för ett sådant bråk är

\frac{P(x)}{(x-a)^n}=\frac{A_0}{(x-a)^n}+\frac{A_1}{(x-a)^{n-1}}+\cdots+\frac{A_{n-1}}{x-a}\,.

För att bestämma den första koefficienten sätts x=a\, in i täljaren. För att bestämma den andra koefficienten sätts x=a\, in i P'(x)\,, det vill säga täljarens derivata. Generellt gäller, för den k:te koefficienten:

A_k=\frac{1}{k!}\,\frac{d^k}{dx^k}\bigl((x-a)^nP(x)\bigr)\bigg|_{x=a} = \frac{P^{(k)}(a)}{k!}\,.

Ett exempel

Betrakta ett bråk där nämnarens gradtal är fyra. För ett sådant bråk gäller ansatsen

\frac{P(x)}{(x-a)^4}=\frac{A_0}{(x-a)^4}+\frac{A_1}{(x-a)^3}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\frac{A_3}{x-a}.

Börja med att multiplicera båda led med (x − a)4

P(x)=A_0+A_1\left(x-a\right)+A_2\left(x-a\right)^2+A_3\left(x-a\right)^3. (1)

Koefficienterna A0, A1, A2 och A3 bestäms sedan genom att successivt derivera båda led i denna identitet och sätta in x = a.

  1. Sätts x = a in i båda led i (1) fås direkt att
    P(a)=A_0\,.
  2. För att få fram A1 deriveras först båda leden i (1) med avseende på x
    P'(x)=A_1+2A_2(x-a)+3A_3(x-a)^2\,
    och när x = a ger detta att
    P'(a)=A_1\,.\,
  3. Koefficienten A2 bestäms genom att derivera båda led i (1) ytterligare en gång
    P''(x)=2A_2+6A_3(x-a)\,
    och sedan sätta in x = a
    P''(a)=2A_2\quad\Leftrightarrow\quad A_2=\frac{P''(a)}{2}\,.
  4. Till slut, för att få A3 deriveras ekvation (1) en sista gång
    P'''(x)=6A_3\,
    och låt därefter x = a
    P'''(a)=6A_3\quad\Leftrightarrow\quad A_3=\frac{P'''(a)}{6}\,.
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Heavisides_expansionsregel"
Personliga verktyg