Begränsad funktion

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Illustration över en begränsad funktion (röd) och en obegränsad funktion (blå).

En begränsad funktion är inom matematik en reell eller komplex funktion f, definierad på någon mängd X, sådan att mängden av funktionsvärdena av f är begränsad mängd. Med andra ord existerar det något tal M så att:

för alla x i X.

Man säger även att en funktion f är uppåt begränsad om det finns ett A så att för alla x i X och att f är nedåt begränsad om det finns ett B så att för alla x i X.

Ett specialfall fås då X är de naturliga talen, då funktionen blir en talföljd (a_n) som sägs vara begränsad om det existerar något tal M så att för alla naturliga tal n.

En generalisering av begreppet fås i metriska rum, då en funktion definierad på någon mängd X och tar värden i något metriskt rum Y är begränsad om det i Y existerar ett element a så att det existerar ett tal M så för alla x i X.

Exempel

• Funktionen sinus för de reella talen (dock inte för de komplexa) tar endast värden mellan -1 och 1 och är alltså nedåt begränsad av -1 och uppåt begränsad av 1.
• Funktionen

definierad för alla reella x som inte är -1 eller 1 är inte begränsad, då funktionen växer obegränsat då x går mot 1 eller -1. Om definitionsmängden tas att vara exempelvis intervallet är den dock begränsad.

• Varje kontinuerlig funktion från ett kompakt rum till ett metriskt rum är begränsad.
• Dirichlets funktion är begränsad.