Klot

Från Rilpedia

Version från den 27 maj 2009 kl. 13.03 av LA2-bot (Diskussion)
(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Den här artikeln handlar om geometri. För tyget klot, se Klot (textil).

Ett klot är en tredimensionell solid kropp vars begränsningsyta är en sfär.

Bump-map-demo-smooth.png

Klotets volym kan beräknas med formeln 4πr3/3 där r är klotets radie.

En cylinder som omsluter ett klot har en volym som är 3/2 gånger klotets, vilket (tillsammans med formlerna för sfärens yta och klotets volym) redan Arkimedes kände till.

Härledning av volymformeln

En halvcirkel med radie r och centrum i origo motsvarar följande funktion (se Pythagoras sats):

f(x)=\sqrt{r^2-x^2}, x \in [-r, r]

Motsvarande rotationskropp har då denna volym:

\int_{-r}^{r}\pi(r^2-x^2) dx

Vi börjar med att separera termerna:

\int_{-r}^{r}\pi r^2-\pi x^2 dx

Dessa kan sedan integreras separat:

\int_{-r}^{r}\pi r^2 dx - \int_{-r}^{r}\pi x^2 dx

Motsvarande primitiva funktioner är triviala:

\pi r^2\left[ x \right]_{-r}^{r} - \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r}

Insättning av r och −r ger:

\pi (r^3-(-r^3)) - \pi (\frac{r^3}{3} - (-\frac{r^3}{3}))

Förenkling, steg 1:

2 \pi r^3 - 2\pi \frac{r^3}{3}

Förenkling, steg 2:

\frac{6}{3} \pi r^3 - \frac {2}{3} \pi r^3

Och det hela ger resultatet:

\frac{4}{3} \pi r^3

Klot i analytisk geometri

I analytisk geometri beskrivs klotet, placerat i ett kartesiskt koordinatsystem med ekvationen

(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 \le r^2

där (a, b, c) är klotets medelpunkt och r är dess radie.

Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Klot"
Personliga verktyg