Gausselimination

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Gausselimination är en matematisk operation som kan utföras på en matris eller på ett linjärt ekvationssystem. Namnet kommer från den framstående tyska matematikern Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Gausselimination är lämplig att använda vid lösning av ekvationssystem av typen

Ax = b,

där A är en kvadratisk matris samt x och b är vektorer.

Tillvägagångssättet är att eliminera elementen under diagonalen i varje kolonn, genom att subtrahera varje rad i A-matrisen och b-vektorn med kvoten mellan pivotelementet och elementet i varje rad och kolonn. Då man gått igenom alla rader har en högertriangulär A-matris uppstått. Då gör man om samma sak fast nerifrån och upp, och man kommer då erhålla en diagonalmatris. Normerar man den så finns lösningen till ekvationssystemet i b-vektorn.

Ex:

  1x+1y+0z=1
  1x+0y+1z=2
  0x+1y+1z=3

ställs upp som matrisen:

                        "x, y, z"
                        (1  1  0 | 1)*(-1)"Adderas sen till rad #2"  =(1      1     0   | 1  )    (1  1  0 | 1)
                        (1  0  1 | 2)                                 ((1-1) (0-1) (1-0)|(2-1) =  (0 -1  1 | 1)*(1)"Adderas till rad #3) 
                        (0  1  1 | 3)                                 (0      1     1   | 3  )    (0  1  1 | 3) 

      (1  1  0 | 1)                                    (1  1  0 | 1)                              (1  0  0 | 0)  
  =   (0 -1  1 | 1)                                 =  (0 -1  0 |-1)*(1)"Adderas till rad #1"  =  (0 -1  0 |-1)
      (0  0  2 | 4)*(-1/2)"Adderas till rad #2"        (0  0  2 | 4)                              (0  0  2 | 4)

Detta ger 1x=0, -1y=-1, 2z=4 dsv x=0, y=1 och z=2

 Denna artikel om algebra är bara påbörjad. Du kan hjälpa till genom att utöka den.