Slutet hölje

Från Rilpedia

Version från den 28 mars 2009 kl. 22.47 av Calle (Diskussion)
(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Det slutna höljet till en mängd M är inom matematik är mängden av alla punkter som, intuitivt uttryckt, ligger "nära" M.

Innehåll

Definition

Låt M vara en mängd och låt L vara mängden av alla M:s hopningspunkter. Då definieras det slutna höljet av M som unionen av M och L:

\bar{M} = M \cup L

Detta kan även uttryckas som att slutna höljet till M är M med sin rand:

\overline{M} = M \cup \partial M

Egenskaper

Det slutna höljet har följande egenskaper:

\bar{M} \supset M .
\bar{M} är den minsta slutna mängden som innehåller M.
\bar{M} är snittet av alla slutna mängder som innehåller hela M.
M är sluten om och endast om \bar{M} = M .
Om M \subset N så följer att \bar{M} \subset \bar{N}.

Ibland används den andra eller den tredje egenskapen som definitionen av det slutna höljet.

Exempel

  • I alla rum X så är det slutna höljet av den tomma mängden den tomma mängden och \bar{X} = X .
  • Det slutna höljet till det öppna intervallet ]0,1[ är det slutna intervallet [0,1].
  • Det slutna höljet till de rationella talen är de reella talen, man säger att de rationella talen är en tät delmängd till de reella talen.
  • I komplexa talplanet är det slutna höljet av |z|<1 \, (den öppna skivan) lika med |z| \leq 1 (den slutna skivan).

Slutet hölje som operator

I ett rum X, låt M vara en mängd, M − det slutna höljet till M och Mo det inre till M. Följande samband kopplar ihop det slutna höljet med det inre:

  • M^- = X \setminus (X \setminus M)^o
  • M^o = X \setminus (X \setminus M)^-

Där X \setminus M är komplementet till M i X.

Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Slutet_h%C3%B6lje"
Personliga verktyg