Pseudometriskt rum

Från Rilpedia

Version från den 19 april 2009 kl. 14.50 av Calle (Diskussion)

(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.

Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum, doch har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.

Innehåll

1 Definition
2 Exempel
3 Metriska rum från pseudometriska rum
- 3.1 Exempel
4 Se även

Definition

Ett pseudometriskt rum är ett par $(X, d)$ där $X$ är en mängd och $d$ är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för $x, y \in X$ :

$d(x,y) \geq 0$

$d(x, x) = 0\,$

$d(x, y) = d(y, x)\,$ (symmetri)

$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ (triangelolikhet)

Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte $d (x, y) = 0$ att $x = y$ , vilket är falllet för en vanlig metrik.

Exempel

Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man t.ex. betraktar ett rum $X$ och utifrån detta skapar ett nytt rum $\mathcal{F}(X)$ som består av alla funktioner $f:X \to \mathbb{R}$ . Om vi väljer ett speciellt element $x_0 \in X$ , kan vi få en pseudometrik på $\mathcal{F}(X)$ genom: