Additiv funktion

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

En eller flera användare anser att denna text bör infogas i additivitet. (Diskussion)

Inom talteorin är en additiv funktion en aritmetisk funktion f(n) på de positiva heltalen n så att om a och b är relativt prima:

f(ab) = f(a) + f(b).

En additiv funktion f(n) kallas komplett additiv om f(ab) = f(a) + f(b) gäller för alla positiva heltal a och b, även om de inte är relativt prima.

Varje komplett additiv funktion är additiv, men inte vice versa.

Utanför talteorin används termen additiv vanligtvis för alla funktioner med egenskapen f(ab) = f(a) + f(b) för alla argument a och b.

Exempel

• En komplett additiv funktion är Ω(n), som definieras som det totala antalet primfaktorer i n om man räknar multipla faktorer multipla gånger. Ω(1) = 0 eftersom 1 inte har några primfaktorer.

Ω(4) = 2

Ω(27) = 3

Ω(144) = Ω(2⁴ · 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6

Ω(2,000) = Ω(2⁴ · 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7

Ω(2,001) = 3

Ω(2,002) = 4

Ω(2,003) = 1

Ω(54,032,858,972,279) = 3

Ω(54,032,858,972,302) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = 7

...

• Ett exempel på en aritmetisk funktion som är additiv men inte komplett additiv är ω(n), definierad som det totala antalet olika primfaktorer i n.

ω(4) = 1

ω(27) = 1

ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2

ω(2,000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2

ω(2,001) = 3

ω(2,002) = 4

ω(2,003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3

ω(54,032,858,972,302) = 5

ω(20,802,650,704,327,415) = 5

...