Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''Inversa funktionssatsen''' är en [[matematisk sats]] inom [[differentialkalkyl]]. Satsen ger tillräckliga villkor för att en funktion ska vara inverterbar i en [[omgivning]] till en given punkt och en formel för beräkning av [[derivata]]n av den inversa funktionen. ==Inversa funktionssatsen== ===Envariabelanalys=== Om ''f'' är [[kontinuerligt deriverbar]] med nollskild derivata i punkten ''a'' så är ''f'' inverterbar i en omgivning till ''a''. Om <math> f(a) = b </math> kan derivatan av <math> f^{-1} </math> beräknas i punkten ''b'' genom: :<math>\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}</math> ===Flervariabelanalys=== Låt <math>\mathbf F:\R^n\to\R^n</math> vara en kontinuerligt deriverbar avbildning. Om <math> \mathbf a </math> är en punkt så att [[Jacobideterminant]]en är nollskilld i <math> \mathbf a </math> :<math> \det \mathbf F'(\mathbf a) \neq 0, </math> så finns det omgivningar ''U'' och ''V'' kring <math> \mathbf a </math> respektive <math> \mathbf F(\mathbf a) </math> så att avbildningen <math> \mathbf F: U \to V </math> är bijektiv och inversen <math> \mathbf F^{-1} </math> är kontinuerligt deriverbar. Om <math>\mathbf F(\mathbf a) = \mathbf b </math> så kan [[Jacobimatris]]en till <math> \mathbf F^{-1} </math> kan beräknas med :<math> \left( \mathbf F^{-1} \right)' (\mathbf b) = \left( \mathbf F'(\mathbf a) \right)^{-1} </math> ==Bevis== Det finns många bevis för inversa funktionssatsen. Det enklaste bygger på [[satsen om största och minsta värde]]. Ett generellare bevis bygger på [[Banachs fixpunktssats]], som även kan användas till att bevisa en generalisering av satsen som gäller i oändlighetsdimensionella vektorrum. ==Exempel== Betrakta <math> F:\R^2 \to \R^2 </math> definierad av :<math> \mathbf F (x,y) = \begin{pmatrix} e^x \cos y \\ e^x \sin y \end{pmatrix} </math> Jacobimatrisen blir <math> \mathbf F'(x,y) = \begin{pmatrix} e^x \cos y & -e^x \sin y \\ e^x \sin y & e^x \cos y \end{pmatrix} </math> så att determinaten är :<math> \det \mathbf F'(x,y) = e^{2x} \cos^2 y + e^{2x} \sin^2 y = e^{2x}.</math> Då <math> e^{2x} </math> är nollskild för alla reella ''x'' ger inversa funktionssatsen att varje <math> \mathbf q \in \R^2 </math> har en omgivning där funktionen är inverterbar. ==Se även== *[[Implicita funktionssatsen]] ==Referenser== *{{bokref |titel=Matematisk analys i en variabel |efternamn=Forsling |förnamn=Göran |medförfattare=Mats Neymark |år=2004 |utgivare=Liber |isbn=91-47-05188-4 |sid=192 }} *{{bokref |titel=Analys i flera variabler |efternamn=Persson |förnamn=Arne |medförfattare=Lars-Christer Böiers |år=2005 |utgivare=Studentlitteratur |isbn=91-44-03869-0}} [[Kategori:Differentialkalkyl]] [[Kategori:Teorem]] [[de:Satz über die inverse Funktion]] [[en:Inverse function theorem]] [[es:Teorema de la función inversa]] [[fr:Théorème d'inversion locale]] [[it:Teorema della funzione inversa]] [[hu:Inverzfüggvény-tétel]] [[pt:Teorema da função inversa]] [[zh:反函数定理]]

Tillbaka till Inversa funktionssatsen.