Matrislogaritm

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Inom matematiken är matrislogaritm en generalisering av begreppet logaritm till att gälla även kvadratiska matriser. Matrislogaritmen är den inversa matrisfunktionen till matrisexponentialen.

Innehåll

1 Definition och egenskaper
2 Beräkning
3 Se även

Definition och egenskaper

En matris $B$ är logaritmen till en matris $A$ om $A$ är matrisexponentialen av $B$ :

e B = A

Matrislogaritmen har följande egenskaper:

En matris har en logaritm om och endast om den är inverterbar.
En reell matris kan ha en komplex matris som logaritm.
Matrislogaritmen är inte unik.

Beräkning

För diagonaliserbara matriser

Om $D$ är en diagonalmatris är logaritmen av $D$ en diagonalmatris med diagonalelement som är logaritmen (för skalärer) av $D$ s diagonalelement, dvs:

$\ln{ \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} \ln{\lambda_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ln{\lambda_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \ln{\lambda_n} \end{pmatrix}$

För en diagonaliserbar matris $A$ , dvs $A = T D T - 1$ , gäller att $\ln{A} = T\ln{D}T^{-1}\,$ .

För ej diagonaliserbara matriser

Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs $A = T J T - 1$ där $J$ är en blockdiagonal matris där blocken är Jordanblock. Ett Jordanblock $J p$ kan skrivas som:

$J_p = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} =\lambda \begin{pmatrix} 1 & \lambda^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \lambda^{-1} & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} =\lambda(1+N)$