Yule–Walker-ekvationerna

Från Rilpedia

(Omdirigerad från Yule-Walker-ekvationerna)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Yule–Walker-ekvationerna är en uppsättning ekvationer som uppstår vid skattning av parametrar för en autoregressiv modell för linjär prediktion.

Givet ekvationen

Y(n) + a_1 Y(n-1) + a_2 Y(n-2) + \ldots + a_N Y(n-N) = b_0 X(n),

där X(n) är vitt brus, önskas parametrarna ak beräknas. Genom att multiplicera bägge leden med Y(nk) fås

Y(n) Y(n-k) + \ldots + a_N Y(n-N) Y(n-k) = b_0 X(n) Y(n-k)

Väntevärdet av de bägge leden blir

E[Y(n) Y(n-k) + \ldots + a_N Y(n-N) Y(n-k)] = E[b_0 X(n) Y(n-k)]
r_Y(k) + a_1 r_Y(k-1) + \ldots + a_N r_Y(k-N)] = b_0 E[X(n) Y(n-k)]

(rY(k) är Y:s autokorrelationsfunktion.) Men eftersom Y inte beror av framtida värden av X så är

E[X(n) Y(n-k)] = 0,\ k>0

vilket ger ekvationen

a_1 r_Y(k-1) + \ldots + a_N r_Y(k-N)] = -r_Y(k)

och ekvationssystemet för k=1,\ldots,N (notera att rY är symmetrisk, så rY( − k) = rY(k))


\begin{pmatrix}
r_Y(0)   & r_Y(1)   & \cdots & r_Y(N-1) \\
r_Y(1)   & r_Y(0)   & \cdots & r_Y(N-2) \\
\vdots   & \vdots   & \ddots & \vdots \\
r_Y(N-1) & r_Y(N-2) & \cdots & r_Y(0) \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N
\end{pmatrix}
= -
\begin{pmatrix}
r_Y(1) \\ r_Y(2) \\ \vdots \\ r_Y(N)
\end{pmatrix}

Ekvationssystem kan lösas med gausseliminering, eller, eftersom matrisen är en Toeplitz-matris, genom Levinson-rekursion.

Personliga verktyg