Vandermondematris

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

En Vandermondematris är inom linjär algebra en matris vars rader beskriver geometriska följder, uppkallad efter Alexandre-Théophile Vandermonde.

Om V är en Vandermondematris av format  m \times n är alltså elementen  v_{ij} = a_i^{j-1} för tal ai, så att matrisen blir:

 V = 
\begin{pmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n \\
1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_m & a_m^2 & \cdots & a_m^n
\end{pmatrix}

Egenskaper

För kvadratiska (m = n) Vandermondematriser är determinanten

\det V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i).

En Vandermondematris där  m \leq n har maximal rang om och endast om alla ai är distinkta.

Tillämpningar

Vandermondematriser betraktas vid polynominterpolation, eftersom att lösa systemet Vu = y, där V är en Vandermondematris, är ekvivalent med att hitta koefficienterna uk i polynomet

P(x) = \sum_{k=0}^{n-1} u_kx^k

av grad \leq n-1 som har värdena yk vid ak.

Personliga verktyg