Rolles sats
Från Rilpedia
Rolles sats är en matematisk sats, som bevisades av Michel Rolle 1691; den används främst i beviset av den mer generella medelvärdessatsen.
Formulering
Låt g vara en reellvärd funktion som besitter följande tre egenskaper:
- Den är definierad och kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall
![\left[a,b\right]](/w/images/sv.rilpedia.org/math/f/9/4/f944498af9d6490b5599ba93146f9db8.png)
. - Den är deriverbar över det öppna intervallet
. - Den antar samma värde i intervallets ändpunkter:
.
Då antar funktionens derivata värdet noll någonstans i det öppna intervallet (a,b); det vill säga att intervallet innehåller ett tal, c, sådant att 
.
Bevis
För funktionen g kan bara ett av följande två fall gälla:
- På det slutna intervallet [a,b] är funktionen konstant:
![\forall \, x \in [a,b], \quad g(x) = g(a).](/w/images/sv.rilpedia.org/math/7/6/f/76f35b6d4af182fda7c172b0c2d96a1a.png)
- På det slutna intervallet [a,b] är funktionen inte konstant:
![\exists \, x \in [a,b], \quad g(x) \neq g(a).](/w/images/sv.rilpedia.org/math/b/7/9/b79305f3bc444b2ac89b8d82db31075b.png)
En konstant funktion har en derivata som är lika med noll överallt i det inre av sitt definitionsområde.
Om det första fallet gäller så vet vi därför att derivatan till funktionen g är noll på hela intervallet (a,b):
Man kan därför välja c som vilket som helst tal mellan a och b; till exempel kan man ta c = (a + b) / 2.
Om det andra fallet gäller så skall vi visa att det öppna intervallet (a,b) innehåller minst en punkt där derivatan till funktionen g är noll:
Det finns en sats som säger att
- en kontinuerlig funktion över ett slutet och begränsat intervall antar både sitt största och sitt minsta värde över intervallet.
Vi vet att funktionen g är kontinuerlig över det slutna intervallet [a,b]. Därför antar den sitt största värde (M) för ett tal i detta intervall och sitt minsta värde (m) för ett tal i detta intervall; kalla dessa tal för xM och xm respektive.
Talen xM och xm kan inte båda vara ändpunkter till intervallet [a,b], eftersom förutsättningen att g(a) = g(b) då innebär att funktionen g är konstant, vilket vi utgår från att den inte är. Vi vet därför att något av talen xM och xm ligger i det öppna intervallet (a,b).
På det öppna intervallet (a,b) är funktionen g deriverbar och vi vet att den antar sitt största eller sitt minsta värde i detta intervall. Det finns en sats som säger att funktionens derivata i en sådan inre extrempunkt måste vara noll:
eller 
Vi har härmed lyckats visa att det öppna intervallet (a,b) innehåller ett tal där derivatan till funktionen g antar värdet noll:
(Ta talet x = xm eller x = xM.)
Konsekvenser
Rolles sats är normalt det viktigaste delresultat som används för att bevisa differentialkalkylens medelvärdessats.
