Penrosetessellation
Från Rilpedia
Penrosetesselation är en aperiodisk tessellation med aperiodiska plattor uppkallad efter den engelske matematikern Roger Penrose som undersökte dem under 1970-talet. Penrose arbetade också mycket med matematikern John Conway när det gällde Penrosetessellationerna. En annan matematiker som arbetat mycket med Penrosetessellationer är Robert Ammann som helt oberoende av Penrose upptäckte Penroses tredje set.
Att Penrosetessellationen är aperiodisk innebär att om man fyller ett euklidiskt plan med plattor som inte överlappar varandra så kan man inte hitta exakt samma mönster igen om man förflyttar plattläggningen. Att plattorna är aperiodiska betyder att de endast kan användas till att bilda en aperiodisk tessellation.
Penrosetessellation har dessutom fler egenskaper. En är att om man skulle lägga ut en Penrosetessellation på ett oändligt stort plan och sedan välja ett ändligt område så kan man återfinna detta område ett oändligt antal gånger på denna tessellation och alla andra tessellationer med samma plattor.
Innehåll |
Olika set av plattor
Penrose tog fram tre set av plattor. Det är de två senare paren som är mest kända och som man ser mest av. Seten står här i ordning efter Penrose skapade dem. Seten har också inbördes relationer som att man kan fylla ett mönster av ett set med ett annat set om man skär bitarna på speciella sätt.
Set 1
Det första setet av plattor som Penrose skapade bestod av sex olika plattor. Penrose hittade detta mönstret när han försökte skapa en tessellation med femhörningar, vilka vanligtvis lämnar glapp när man försöker fylla ut en tvådimensionell yta med dem. Setet består därför av tre femhörningar, en romb, en femuddig stjärna och en "båt"(som stjärnan men med två uddar borttagna) som endast får ligga bredvid varandra på särskilda sätt (mer om detta finns på följande hemsida (engelska))
Set 2
Det andra setet är ett set av två stycken plattor som kallas för "drakar" och "pilar". Bilden till höger visar hur dessa två plattor ser ut.
Detta set är Penroses första set med två stycken plattor. Setet kan skapas genom att ta en romb med vinklarna 72 grader och 108 grader, märka ut punkten som ligger en sidlängd in mellan de spetsiga vinklarna och därifrån skära romben i två bitar med två snitt från de trubbiga vinklarna till den utmärkta punkten. De två bitarna får däremot inte sättas ihop på samma sätt när man lägger ut plattorna utan man måste följa vissa begränsningar (i bilden till höger innebär det att de färgade linjerna måste hänga ihop om tessellationen ska vara korrekt).
Det här setet har skapat och lett till andra undersökningar. Som vilka former man kan skapa om man börjar med en form där alla bitar ska ha en gemensam punkt där vinklarna möts och hur deras "kungadömen"(de plattor som direkt bestäms av startformen) ser ut. Två av dessa former (solen och esset) kräver inga speciella plattor omkring sig och två de ovanstående formerna (solen och stjärnan) är centrum i de två enda Penrosetessellationerna med perfekt femfaldig symmetri med dessa plattor.
Set 3
Penroses tredje set är ett par romber som hänger ihop med drakarna och pilarna. Till exempel så är alla vinklar multipler av 36 grader. I likhet med det andra setet så får dessa plattor inte läggas hur som helst mot varandra utan har vissa restriktioner. På bilden till höger visas detta både genom linjerna som ska överensstämma med varandra och spikarna på sidorna som bara kan passas in i det liknande hålrummet.
Det tredje setet är väldigt nära besläktat med det andra setet vilket leder till att allt som kan sägas om det andra setet är också sant om det tredje setet. Vilket set forskare och matematiker använder och undersöker beror därför på personlig åsikt.
Inflation och deflation
Penrose upptäckte också en speciell egenskap hos sitt andra set (vilket också gäller för hans tredje set), nämligen att om man hade en Penrosetessellation med drakar och pilar så kunde man dela pilarna på mitten och sedan klistra ihop alla "kortsidor" på de nya formerna. Det som då uppstår är en ny Penrosetessellation som består av samma sorts bitar som den förra (pilar och drakar), men bitarna är nu större. Detta fenomen kallas för inflation. Det motsatta fallet existerar också och kallas för deflation och är en viktig del när det gäller att bevisa Penrosetessellationernas aperiodicitet.
Penrosetessellation och det gyllene snittet
Penrosetessellationerna står i väldigt nära relation till det gyllene snittet (φ) och fibonacciföljden. Några exempel är följande:
- Om man mäter längden mellan de två motstående olika vinklarna på både draken och pilen och jämför drakens längd mot pilens längd så är proportionen däremellan φ.
- Fyller man ett oändligt stort plan med drakar och pilar är det vara φ mer drakar än pilar. Detta är också är beviset för att Penrosetessellationen är aperiodisk.
- Om man tar ett ändligt cirkulärt område med diameter d på en oändligt stor Penrosetessellation så återfinns kanten på ett identiskt område som mest φ²·d ifrån det första områdets kant.
Bevis
En saksom ligger till grunden för att bevisa att Penrosetessellation är aperiodisk och som är relativt enkel att se om man räknar lite på plattorna är att man i set 2 och 3 behöver φ(gyllene snittet) antal fler "stora" plattor än "små" (det vill säga fler drakar än pilar i det andra setet och fler trubbiga romber än spetsiga romber i det tredje setet). Att denna proportion är irrationell innebär att det inte finns någon enstaka cell av plattor som man kan fylla hela planet med.
Det enda som man kanske kanske kan något emot detta bevis är att även om man räknar på det så kan det vara svårt att gå med på att proportionen för en Penrosetessellation på ett oändligt plan är just φ (även om det är troligt). Detta kan däremot bevisas med hjälp av deflation. När de båda plattorna i det andra setet delas mellan de två olika motstående vinklarna blir det två stycken "gyllene trianglar", en trubbig triangel T och en spetsig triangel S. Om man därefter använder deflation så blir den trubbiga triangeln till en trubbig och en spetsig triangel (1T = 1S + 1T) och den spetsiga triangeln till två spetsiga och en trubbig triangel(1S = 2S + 1T). Anta att man nu delar upp trianglarna n antal gånger. Antalet trubbiga och spetsiga trianglar blir så som följande:
nT = F2nS + F2n − 1T
nS = F2n + 1S + F2nT
Där nT är förhållandet om man startar med en trubbig triangel, nS är förhållandet om man startar med en spetsig triangel och Fn är det n:te Fibonaccitalet. Detta ger att förhållandet mellan trianglarna är Fn + 1 / Fn oavsett vilken form man börjar med. Om man nu låter n gå mot oändligheten så går detta förhållande mot just φ. Eftersom både draken, pilen och de båda romberna är uppbyggda av två likadana av ovanstående trianglar så gäller detta förhållande även för det andra och tredje setet (och också det första setet även om det inte ses lika lätt).
Kvasikristaller
Robert Ammann som också upptäckte Penroses tredje set hade när Penrose gick ut med sina aperiodiska tessellationer redan börjat tänka i tre dimensioner och hittat två stycken romber som liksom Penroses tredje set skapade en aperiodisk tessellation men i tre dimensioner.
Detta blev ännu mer intressant när man ungefär 10 år senare hittade ett liknande mönster i en Aluminium-Magnesium legering. Detta skapade uppmärksamhet till Penrosetessellationerna och skapade uttrycket kvasikristaller för dessa ordnade kristaller som bildar en aperiodisk tessellation i rummet.
Vidare frågor
Penrosetessellationerna har efter sin upptäckt skapat vidare frågor.
En fråga är till exempel om det finns ett par plattor som inte är relaterade till det gyllene snittet men som ändå kräver aperiodicitet eller om det finns ett par konvexa plattor som skapar ett aperiodiskt mönster utan att behöva läggas på speciella sätt mot varandra.
Den största frågan är dock om det finns en enda platta som bara kan skapa starka aperiodiska tessellationer. Forskare har hittat en tredimensionell form som fyller ut rummet aperiodiskt men denna form har skruvsymmetri (vilket gör att dess tessellation inte är starkt aperiodisk). Många experter tror inte att det finns en form/platta som ger upphov till en stark aperiodisk tessellation men det finns ännu inga bevis för det.
Källor
Webbkällor
- Edwards, Steve (2000-2004). ”Aperiodic Tiling and Penrose Tiling”. http://www2.spsu.edu/math/tile/aperiodic/index.htm. Läst 26 april 2008.
- Artikeln är, helt eller delvis, en översättning från en annan språkversion av Wikipedia.
Tryckta Källor
- Peterson, Ivars: The Mathematical Tourist, W.H. Freeman and Company, New York 1988, sid. 200-212. ISBN 0-7167-1953-3.
- Gardner, Martin: Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W.H. Freeman and Company, New York 1989, sid. 1-18. ISBN 0-7167-1987-8.
