Mittpunktsformeln

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Illustration av mittpunktsformeln. P₁ och P₂ är godtyckliga punkter i ett koordinatsystem, och M är en punkt som ligger exakt mitt emellan dem. O betecknar origo.

Mittpunktsformeln är en matematisk ekvation. Om man har två punkter, P₁ och P₂ som kan ligga var som helst i ett koordinatsystem, så anger mittpunktsformeln ett sätt att få fram den punkt som ligger mitt emellan P₁ och P₂. Om O betecknar origo och vi kallar den eftersökta punkten mitt emellan P₁ och P₂ för M så är formeln:

$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2})$

Eftersom origos koordinater är 0 så blir koordinaterna för M lika med $\overrightarrow{OM}$ .

Bevis

Med hjälp av vektoraddition kan man skriva $\overrightarrow{OM}$ som

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{P_1M}$

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{P_1P_2}$ . Vi ser att $\overrightarrow{P_1M}$ är lika med $\frac{1}{2}\overrightarrow{P_1P_2}$ , eftersom M är mittpunkt på $\overrightarrow{P_1P_2}$ enligt definitionen på problemet.

$\overrightarrow{OP_2}$ kan vi beskriva som:

$\overrightarrow{OP_2}=\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{P_1P_2}$ . Löser vi ut $\overrightarrow{P_1P_2}$ får vi:

$\overrightarrow{P_1P_2}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1}$

Om vi stoppar in detta i formeln vi hade förut så får vi:

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{P_1P_2}=\overrightarrow{OP_1}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2})$

Mittpunktsformeln

Från Rilpedia

Bevis

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda