Linjärt ekvationssystem

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Ett linjärt ekvationssystem är en uppsättning av ett ändligt antal linjära ekvationer med den algebraiska formen

a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2

där an, bn och cn är reella eller komplexa tal. Mer generellt kan ett ekvationssytem med m ekvationer och n obekanta skrivas som

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
    :
    :
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Ett sådant ekvationssystem sägs ha en lösning om alla variabler samtidigt uppfyller samtliga ekvationer. Linjära ekvationsystem har antingen ingen lösning, exakt en lösning eller oändligt många lösningar. Om man låter A=\left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & \ldots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \ldots & a_{m,n} \end{array} \right) ,  \bar{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) och \bar{b}=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right) så kan ovanstående ekvationssystem skrivas  A\bar{x}=\bar{b}. En sådan ekvation har lösningen \bar{x}=A^{-1}\bar{b}, förutsatt att det(A)\neq 0 och m = n < math > .Om < math > det(A) = 0 så kan ekvationen endera ha oändligt många lösningar (med ett ändligt antal frihetsgrader) eller ingen lösning. Om m > n så är systemet underbestämt och om m < n så är systemet överbestämt. Det bör noteras att inversen av en icke-kvadratisk matris ej är definierad.


Exempel på linjära ekvationssystem
x + 5y = 8 x1 + 2x2 - 3x3 = 14
s = ½x + 3t – 1
Exempel på ickelinjära ekvationssystem
x + y2 = 0
s − sint = 0  \sqrt{x} + 3y + 9z = 2


Personliga verktyg